從題根式教學談課堂教學設計

趙晨

摘 要： 課堂教學追求高效、簡潔，是新課程提出的教學要求.如何從課堂教學的角度讓教學變得高效是一直以來困擾教師教學的問題.作者認為，數學問題千變萬化都不離知識核心.

關鍵詞： 題根式 課堂教學設計 函數模型

新課程數學教學一直致力于減輕學生的學習負擔，但是我們發現，現階段學生的學習壓力并沒有減輕，這是什么原因造成的？現在很多學生覺得課業負擔很重，覺得讀書很累，作業很多，從而會引發厭學、疲憊、抄作業等不良情況.究其原因，很大的一個問題就是學生在頻繁地做同一個問題或是同一類問題，由于沒有進行歸納總結，題目稍微變換一下，學生就以為變成了一個新題型，從而無所適從.

筆者認為有兩方面原因：其一是教師傳統的觀念沒有改變，教師很多時候在教大量的題型，但是有些陳舊的不舍得舍棄、新型的不斷加入，造成學生學習負擔更重；其二是課堂教學不夠精準、高效，課堂教學精準高效依賴于教師對于數學核心知識的自建構，需要教師選擇核心知識編制題根為主的課堂教學.

何為題根？題根是一個問題最核心的數學知識.很多題目都有一個“題根”，抓住問題的“題根”，看清問題的實質，其實題目可以變得很“少”.把一系列問題規范化后就是一個題目，就像講課時的例題，課本上的習題，考卷上的考題，會場上的討論題或研究題，歸類后往往學習效果可以事半功倍.筆者列舉一個題根式教學的設計1：《二次函數在閉區間上的最值問題》，選擇二次函數設計的原因如下：

（1）二次函數求最值問題的重要性

二次函數在高中數學中的重要性不言而喻.它與指數函數，對數函數等函數結合，與恒成立問題、導數知識、實際運用問題、集合等很多模塊的知識都有著密不可分的聯系.函數問題往往會和函數的最值問題掛鉤，而求函數的最值問題往往是學生的薄弱環節，因此加強這個部分內容的研究意義重大.

（2）學生學習二次函數的現狀

二次函數在高中數學學習中意義重大.尤其是二次函數求最值問題.在求最值的時候采用配方的方法，不與圖像結合，死記硬背一些公式，在求最值時很呆板，經常出錯.

（3）用圖像法尋找二次函數的最高點和最低點求函數的最大值和最小值的意義

配方法在求二次函數的最值是可以運用，但是我認為求函數的最值問題，特別是二次函數，用畫出圖像，尋找函數圖像的最高點和最低點，往往是通俗易懂，讓學生看圖時往往是一目了然.我在十幾年的教學中已經有了很深刻的體會.

設計：應用“題根”教育，突破難題教學設計，找到題根，把難題逐步“分解”.

（1）問題引入

問題：設二次函數f（x）=ax +bx+c，集合A={x|f（x）=x}，且f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值分別為M和m，求：（1）A={1，2}且f（0）=2，求M和m的值；（2）A={1}且a≥1，記g（a）=M-m，求g（a）的最小值.

（2）問題實質

這道題目的第二步學生解決起來非常困難，其實它的實質是一個二次函數求最值的問題，我們可以把題目轉化為：f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m.

（3）題由根生

題根：①求函數f（x）=x -x-2在區間[-2，2]上的最值；②求函數f（x）=ax -ax-2在區間[-2，2]上的最值；③求函數f（x）=x -ax-2在區間[-2，2]上的最值.

（4）畫出圖像，尋找最高點和最低點

畫出圖像，觀察點離開對稱軸的距離，判斷函數圖像的最高點和最低點，就是函數的最大值和最小值.

（5）問題擊破

f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m，分析對稱軸x= =1- .

說明：從表面上看，本題貌似存在兩個參數，討論起來很困難，事實上它的對稱軸范圍可以得到，很容易判斷在區間上哪個點最高和最低.

（6）重視題根

一道綜合題往往可以分解成幾個小題，只要找到題根，挖掘題根，才能“枝繁葉茂”，才能“開花結果”，課堂教學效率才會大大提高.

教學的設計2：y=x+ 模型應用設計

對勾函數是高中重要函數模型，新生對于函數模型的學習、掌握并不非常扎實，我從2013年湖北高考文科的一道選擇題出發，主要講述兩個知識點：其一是如何分析實際應用題的條件轉化為數學關系式；其二是分析數學模型中的一種特殊形式：y=x+ 的應用.

（1）模型回顧

先簡單回顧現階段我們主要學過的函數模型類型，然后引入本課的正題：y=x+ 型函數模型.為了更好地講述該模型，先通過幾何畫板分析函數y=x+ 的特點，主要對a分大于0，小于0，以及等于0的幾種情況分析其單調性，從而為后續中在哪里取到最值做好準備.然后通過兩個實際應用題說明該模型類型的應用.

（2）實例數學化

例題：（2012江蘇高考）建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已知炮彈發射后的軌跡在方程為y=kx- （1+k ）x （k>0）表示的曲線上，其中與發射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標，（1）求炮的最大射程；（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它，請說明理由.

說明：通過該例題，首先引導學生如何審題，如何進行數學閱讀，繼而在導出關系式后，找到函數模型y=x+ （a>0）在此題中的應用，讓學生把實際應用問題轉化為數學語言及數學符號.最后對本微型課進行小結，主要還是從兩方面入手，一是如何進行數學應用題的閱讀和歸納，二是如何對模型進行轉化和應用.

（3）自主小結

請學生對于應用型問題進行總結，分析很多數學實際問題均有著高中數學重要函數模型的背景，需要學生在學習過程中不斷訓練和總結，不斷歸納和探索題根.

總之，函數模型是高中數學最典型、最重要的數學運用于生活實際的典型，題根式教學設計在于將數學知識整合教學提升到了一個新的高度，有助于增強教學的針對性和實效性.諸如本文函數題根為例，在高考中函數模型的考查依舊是數學與生活相連考查最密切的地方，教師教學中引導學生加強對于函數模型題根的觀察、訓練和總結，有助于學生在后續學習中提高通過現象觀測本質的能力.

參考文獻：

[1]宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升[J].中學數學月考，2013，5.

[2]方厚石.函數教學詮釋思維品質[J].數學通訊，2014，1.