數字變化引發的思考

余婷婷

摘 ? ?要： 數學的學習離不開數字，數字是學習數學的基礎。教學中經常會通過不改變題意，只改變數字大小出題考查學生，以此了解學生對某個知識點的掌握情況。然而有些情況下，數字大小的變化，會讓情況發生不同的變化。

關鍵詞： 數字變化 ? ?次品 ? ?次數

有些情況下，數字的變化會使解題變復雜，如從35÷7變成36÷7，計算量變大了;有些情況下數字的變化會使解題思路發生變化，如一個長8m，寬5m，高2m的水池中注滿水，然后把兩條長3m，寬2m，高1m的石柱放入池中，水池溢出水的體積是多少？把石柱高改成5m，解題思路就要發生改變。所以數學上很多題目并不是隨意改變數字大小就可以的，還要結合題意。

數學廣角“找次品”的內容在新舊人教版小學數學教材中都出現了，然而在數字編排上卻有所不同。

2005人教版（文中稱為舊人教版）：

例1：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設法把它找出來。

例2：有一些零件里有1個次品（次品重一些），用天平秤，至少稱幾次就一定能找出次品來？（咱們從9個零件開始試驗吧！）

2015人教版（文中稱為新人教版）：

例1：有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片。你能設法把它找出來嗎？

例2：8個零件里有1個是次品（次品重一些）。假如用天平秤，至少稱幾次能保證找出次品？

從對比中可以看出，舊人教版例題給出的數字是5和9，而新人教版例題給出的數字是3和8，看似簡單的兩個數字變化，卻讓我在教學設計過程中產生了以下思考。

一、數字“3”是探究的起點

舊人教版例1給的是數字“5”，首次探究就給出5瓶，學生可能會出現這幾種情況：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）和（2，2，1）。這些情況分析稍復雜，不便于學生初步理解“找次品”的含義。新人教版例1給的數字“3”出現的情況只有（1，1，1）一種，讓學生從最簡單的問題入手，分析思路清晰，易于學生初步感知用天平“找次品”的基本思路。

5瓶中找一個次品，出現的三種情況：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）、（2，2，1），都是至少稱兩次才能保證找出次品，這樣無規律的嘗試會讓學生感覺不管用什么方法都能得出一樣的答案，致使學生沒有尋找最優化方法的意識。在分析（1，1，3）這種情況的時候，如果天平平衡，次品在剩下的3個零件中，那么我們也要分析從“3個零件中找一個次品”的過程。所以筆者認為直接從數字“3”入手，思路清晰，便于理解和感知。

二、數字“8”是探究的突破口

不論是8個零件、5個零件還是9個零件中有一個是次品都是至少需要稱2次才能保證找出次品，然而從“8個零件中找一個次品”是探究的突破口。

1.“8個零件中找一個次品”，放手讓學生自己動手探究，學生會出現（1，1，1，1，1，1，1，1）、（2，2，2，2）、（4，4）和（3，3，2）等情況，這些情況分的份數不一樣，學生探究后發現保證找出次品稱的次數也有所不同。由此通過對比發現（3，3，2）用的次數最少，并與例1中3瓶的分法（1，1，1）結合起來分析，發現旁邊要有待測物品的時候用的次數最少，再讓學生思考：“為什么有待測物品的時候用到次數最少呢？”即如果天平平衡時，次品在待測物品中;如果天平不平衡，次品在輕的那一邊，那么待測物品就是正品。可見待測物品在旁邊是有起到作用的，由此加深學生對分成3份的理解。

2.8個零件是偶數，學生在探究中會出現（4，4）分成兩份的情況，而舊人教版中的5和9都是奇數，不可能會出現平均分成兩份的情況，這樣學生的認知就少了一種可能性的沖突。后面遇到總數是偶數的時候，或許就有學生會認為：我是不是平均分成兩份，份數越少次數就越少呢？

3.通過“8個零件中找一個次品”對比中感知分成3份能保證找出次品用的次數最少，進而讓學生用分成3份的方法找“9個零件中有一個次品”的情況。學生通常會出現（4，4，1）、（2，2，5）和（3，3，3），從不同結果對比中發現，（3，3，3）用的次數最少，由此引導學生發現，分成3份也不是隨便分的，而是要平均分。通過思考為什么要平均分？讓學生理解平均分是為了使每一份分得的數量最少。再次對比8個零件的（3，3，2）與9個零件的（3，3，3），追問：“如果像8個零件這樣不能平均分怎么辦？”讓學生發現如果不能平均分的就要盡量平均分——使得多的一份與少的一份只相差1。再次讓學生思考為什么會使“多的一份與少的一份只相差1”？從整數除法中可知，除數是3的余數只能是1或2，如果余數是1就讓待測物品多1，如果余數是2就讓天平兩邊各多1，這樣就能使多的一份比少的一份只相差1。如果沒有8個零件這個環節，直接過渡到9個零件，學生沒有對比和分析，就不容易理解“盡量平均分”的含義。

4.為什么不選擇用數字“6”或“7”作為探究的突破口呢？數字“6”也有（1，1，1，1，1，1）、（1，1，4）、（2，2，2，）和（3，3）這幾種情況，然而數字“6”分成三份是平均分，與數字“9”的情況類似，不能出現“盡量平均分”的情況。而數字“7”是奇數，在分的過程中沒有出現平均分成兩份的情況，不利于學生對比分析。

5.那么數字“10”是不是也很適合呢？既滿足是偶數，又有不能平均分的情況。我們不要忘了我們現在是在尋找一種最優的“找次品”的方法，探究問題通常是要“化繁為簡”，有個更小更適合的數字8，又何必要用數字10呢？從簡單數據入手，是數學上常用的一種研究問題的方法。

一個看不起眼的數字變化，卻讓我在教學設計過程中產生了這么多的思考。數字作為數學學習的基礎，鞭策我們數學老師在平時的教學中慎用數字，不能輕易改變數字的大小;巧用數字，讓數字成為孩子學好數學的階梯;妙用數字，激發孩子學習數學的興趣。讓我們一起努力，成為尊重數學、重視數字的合格的數學老師。