淺析函數(shù)在某點處的極限及其在該點的連續(xù)性、可導(dǎo)性的判斷

何冬梅

摘 ? ?要： 極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，也是高等數(shù)學(xué)的奠基石，而高等數(shù)學(xué)是大學(xué)很多專業(yè)的必修課.所以，極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)的概念的教學(xué)顯得尤為重要，但在教學(xué)過程中，作者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于判斷或證明函數(shù)在某點處的極限是否存在，在某點處是否連續(xù)及是否可導(dǎo)時，很是糾結(jié)，往往含糊不清.本文針對此問題作了闡述，希望能給學(xué)生有所啟發(fā).

關(guān)鍵詞： 函數(shù) ? ?極限 ? ?連續(xù) ? ?可導(dǎo)

一、學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容中遇到的問題

在判斷一函數(shù)在某點處的極限是否存在及在該點處是否連續(xù)或可導(dǎo)的問題時，學(xué)生往往很糾結(jié)，經(jīng)常混為一談，甚至?xí)霈F(xiàn)指鹿為馬的現(xiàn)象.

二、如何處理好學(xué)生所遇到的相關(guān)問題

要想避免把三個不同的問題混為一談，就必須弄清以下兩個充要條件和一個必要條件及導(dǎo)數(shù)的定義.

1.函數(shù)f（x）當(dāng)x→x 時極限存在的充要條件是左極限、右極限存在且相等，即

f（x）=A？圳 f（x）= f（x）=A

注：當(dāng)左、右極限都存在，但不相等，或者二者至少有一個條件不存在時，就可以斷言函數(shù)f（x）在x 處的極限不存在.

2.函數(shù)f（x）在點x 處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點處的左、右極限存在、相等且等于該點處的函數(shù)值，即函數(shù)f（x）在點x 處連續(xù)？圳 f（x）= f（x）=f（x ）.

注：當(dāng)函數(shù)在點x 存在下列三種情形之一：

（1）在x=x 處無定義;

（2）在x=x 處有定義，但 f（x）不存在;

（3）在x=x 處有定義，且 存在，但 f（x）≠f（x ），則函數(shù)f（x）在點x 處不連續(xù).

3.函數(shù)y=f（x）在點x 處可導(dǎo)的必要條件是：f（x）在點x 處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即f′ （x ）=f′ （x ）.

4.導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果極限

= ?存在，則稱此極限為函數(shù)y=f（x）在點x 處的導(dǎo)數(shù)，記作

f′（x ）或y′| ，即：

f′（x ）= ?=

此時也稱函數(shù)f（x）在點x 處可導(dǎo);若極限不存在，則稱函數(shù)f（x）在點x 處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.

例1：設(shè)函數(shù)

f（x）=x·sin ? ? x>01 ? ?x=0x ? ? x<0

判斷函數(shù)f（x）在x=0處的極限是否存在及函數(shù)在x=0處是否連續(xù)？

解：因為 f（x）= x =0， f（x）= x·sin =0

即 f（x）= f（x）=0，故函數(shù)f（x）在x=0處的極限存在.

又因為f（0）=1，即： f（x）= f（x）≠f（0），故函數(shù)f（x）在x=0處不連續(xù).

例2：選擇適當(dāng)?shù)腶、b值，使函數(shù)

f（x）=2x ? ? ? ?x≤1ax+b ? ?x>1在點x=1處既連續(xù)又可導(dǎo).

解： f（x）= 2x =2， f（x）= （ax+b）=a+b

因f（x）在點x=1處連續(xù)，即： f（x）= f（x）=f（1）

故a+b=2

f′ （1）= ?= ?= 2（x+1）=4

f′ （1）= ?= ?= a=a

因f（x）在x=1處可導(dǎo)，即f′ （1）=f′ （1）

故a=4，于是b=-2.

所以，當(dāng)a=4，b=-2時，函數(shù)f（x）在x=1處既連續(xù)又可導(dǎo).

例3：判斷函數(shù)

f（x）=x +1 ? ?x≤22x+3 ? ?x>2在x=2處的極限是否存在，且在x=2處是否連續(xù)、可導(dǎo)？

解：因 f（x）= （x +1）=5， f（x）= （2x+3）=7

即 f（x）≠ f（x）

故函數(shù)在x=2處的極限不存在，從而函數(shù)在x=2處也不連續(xù).

因f′ （2）= ?= ?= ?=4

f′ （2）= ?= ?=2

即f′ （2）≠f′ （2）

故函數(shù)f（x）在x=2處不可導(dǎo).

三、結(jié)論

一般地，判斷函數(shù)在某點處的極限是否存在或在該點處是否連續(xù)，所討論的函數(shù)都是分段函數(shù)，因為一切基本初等函數(shù)、初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，而分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).

綜上所述，要做到能熟練解決以上所提到的問題，不至于將三者混淆起來，只需明確三者之間的共同點都是求極限的問題，而連續(xù)的條件比極限存在的條件要多加強一個，不能把只要滿足了左、右極限存在且相等就看成是函數(shù)在該點處連續(xù).判斷函數(shù)在某點處是否可導(dǎo)，只需看是否滿足左、右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等即可.

參考文獻：

[1]姚孟臣.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué).高教出版社，2010.5.

[2]薛桂蘭.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo).高教出版社，2005.6.

[3]沈聰.高等數(shù)學(xué).首都經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)出版社，2010.5.

[4]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高教出版社，2008.4.