高職院校中常微分方程求解的教學設計

錢志良

摘 ? ?要： 高職院校《高等數學》中的常微分方程既是學生感到比較困難，又是應用比較廣泛的十分重要的內容.為了解決這一矛盾，在教學設計時必須做到：概念要清、分類要準、思路要明、方法要活、過程要全，在此基礎上使學生形成一個整體框架，從而真正領悟常微分方程.

關鍵詞： 概念 ? ?分類 ? ?思路 ? ?方法 ? ?過程

1.概念要講清

任何一門學科都會有新的概念，從而再產生新的知識，如果學生對新的概念一知半解，那么就很難學好和掌握新的知識，因此在講解《常微分方程》時務必將概念講清、講透，有些概念始終貫穿整個《常微分方程》，必須重點講解.

必須重點講清、講透的概念：微分方程中的未知量（自變量）、未知函數、未知函數的導數、微分方程的階數、微分方程的通解、微分方程的特解、線性性等.

2.分類要準

不同類型的方程其解法是各不相同的，同樣不同的微分方程的解法也是不同的，因此教會學生正確分類便是教學設計時要注意的問題，也是正確求解微分方程的關鍵之一.那么如何講解微分方程的分類呢？要求學生遵循一看“階數”，二看“次數”的步驟.具體來說，就是首先判別出微分方程的“階數”（微分方程中的最高導數是幾階），再看是否為線性（未知函數及未知函數的導數的次數都是一次的，且沒有y·y′這樣的混合項），是否是齊次的，其系數是否為常數等.現舉例說明如下：如果是一階微分方程，則優先看是否符合線性性，因為在判別是否符合線性性時，不必對原方程作恒等變形，僅看未知函數及未知函數的導數的次數是否都是一次的.如果不滿足線性性，再接著判斷是否是可分離變量的微分方程.教會學生遵循這樣的流程，有助于學生掌握判別方法，從而正確確定方程的類型.

3.思路要明

教學中一定要強調“求解微分方程時必須首先判別出方程的類型，然后再確定其求解方法”這樣一個思路，并養成這樣一個習慣，如果不遵循這樣的思路必將走彎路，甚至找不到求解方法.具體解法歸納如下：

（1）一階微分方程的解法

①可分離變量的微分方程：M（x）N（y）dy=M （x）N （y）dx，解法是先分離變量，再兩邊積分.

②一階齊次線性微分方程：y′+P（x）y=0，利用公式y=Ce 進行求解.

③一階非齊次線性微分方程：y′+P（x）y=Q（x），利用公式y=e [Q（x）e dx+C]進行求解.

（2）二階常系數線性微分方程的解法

①二階常系數齊次線性微分方程：y″+py′+qy=0，先寫出特征方程，求出特征根，根據特征根的不同情況，寫出方程的通解.

②二階常系數非齊次線性微分方程：y″+p（x）y′+q（x）y= f（x），先寫出特征方程，求出特征根，寫出對應的齊次微分方程的通解Y（x），然后利用待定系數法求出原方程的一個特解y （x），最后寫出原方程的解y=Y（x）+y （x）.

例：求微分方程y″+y′=2x -3的通解.

分析：該方程是二階常系數非齊次線性微分方程

求解：寫出特征方程：r +r=0

求出特征根r =-1，r =0.

從而Y（x）=C +C e

利用待定系數法求原方程的一個特解.

設y （x）=x（Ax +Bx+C）=Ax +Bx +Cx

則y ′（x）=3Ax +2BX+C，y ″（x）=6Ax+2B，

代入方程得3Ax +（6A+2B）x+2B+C=2x -3

比較系數可知：3A=26A+2B=02B+C=-3？圯A= B=-2C=1

所以所求的特解為y （x）= x -2x +x.

從而原方程的通解為：y=Y（x）+y （x）=C +C e + x -2x +x.

4.方法要活

例如求微分方程（y -6x） +2y=0滿足條件y| =1的特解，首先該方程是一階的，如果將y作為未知函數，則不滿足“線性”性，因為出現y ，但是如果將x作為未知函數，則又滿足“線性”性，從而可將原方程改寫為

- x=- ，P （y）=- ，Q （y）=- .

從而通解為

x=e [Q （y）e dy+C]=e [（- ）e dy+C]

=e [（- ）e dy+C]=y [（- ）y dy+C]=Cy + y .

將條件y| =1代入上式，得C= .方程的特解為x= y （y+1）.

從此例可以發現，微分方程中將哪個字母定義為“自變量”，哪個字母定義為“未知函數”是可以根據需要來定的，因此要具體問題具體分析，靈活運用.

5.過程要全

完整的解答過程能夠體現出完整的思維過程，因此教學中在要求學生規范解題過程的同時，也要養成書寫完整的良好習慣.