建筑中的數學之美

陳泳全

希臘哲學家畢達哥拉斯認為“萬物皆數”，并將自然納入人類的理性思考范疇。在建筑發展中，數學是建筑結構、力學的基礎，以投影幾何為基礎的畫法幾何和陰影透視的運用，是近代建筑學產生的催化劑;概率和統計則是建筑學進行社會調查研究的重要工具……建筑中無時無刻不蘊含著數學的抽象、理性和精確。而數學的精確性與大膽的幻想結合起來就是美。數學在建筑中的應用不僅蘊含著理性，還呈現出人類對數學之美的感性體驗。

?希臘埃皮達魯斯劇場平面圖

幾何之美

人類對幾何圖形的認識主要源于對自然幾何形態的感知與模仿，例如太陽、月亮、植物莖干、果實、山川等等，由此產生了圓、圓柱、三角等幾何圖形。對重力的體驗，對水平和垂直的觀察體悟，使人類創造出自然界幾乎找不到的幾何形態——矩形、立方體。無論是模仿還是創造，幾何形態成為人類進行建筑實踐的基礎，也是人類對美的感知與表現。

幾何學（Geometry）這個詞來自古埃及的“測地術”。那時，尼羅河每年會有一次洪水泛濫，促成了古埃及文明的產生。洪水到來時，會淹沒兩岸農田;洪水退后，又會留下一層厚厚的河泥，形成肥沃的土壤。每當洪水退去后，原有的土地界限不復存在，需要重新丈量界定。法老政府按土地征稅，也要丈量計算土地面積，這就促使了古埃及幾何學的發展。4500年前，古埃及人建造的建筑史上的奇跡——胡夫金字塔，既是工程學的巨大成就，也表現出古埃及幾何學的輝煌。該金字塔的塔高約146.6米（頂端剝落前），塔身傾角為51度52分，塔底部為邊長230米的正方形（原長），胡夫金字塔的4個斜面正對東、南、西、北四方，誤差不超過圓弧的3分，在當時的條件下，能達到如此建造精度令人難以置信。

在希臘建筑中，我們也到處都能看到基本幾何形的運用。在構造建筑物時，希臘人喜歡把繩索系在釘子上，將其拉直旋轉，從而畫出他們設計的直線和圓弧。公元前4世紀，希臘埃皮達魯斯（Epidaurus）的一座劇場展現了希臘建筑與幾何學之間的聯系。埃皮達魯斯劇場以山坡上鑿除的石塊為座位，這些座位共同構成一種不斷增大并升高的半圓形圖案，其中最大的一個半圓的半徑約為61米。埃皮達魯斯劇場具有優秀的聲學效果，站在露天舞臺中間的表演者的聲音，即使在最后一排的觀眾也能聽到。至今，該劇場仍為古希臘夏季戲劇表演項目的熱門之地。

羅馬人繼承了希臘人在幾何方面的成就，并進一步發揚創新。希臘人在半山坡上鑿出大劇院，用山體支撐傾斜排列的半圓形座位，而羅馬人則是在城市的平地上修建，如橢圓形的羅馬斗獸場。羅馬人通過對混凝土、石頭砌筑技術的掌握，結合希臘人的幾何成就，擴展出拱券結構、穹頂結構等技術，進一步實現對幾何形態的塑造。如羅馬萬神廟的穹頂直徑為43米，穹頂最高點距地面約為43米，內部空間接近一個純粹的球體，它將羅馬工程師的力量與希臘的審美形式天衣無縫地結合在一起。

現代建筑的發展與古典建筑相比，更主張注重功能性，摒棄繁復的裝飾，追隨簡潔純粹之美，因此，簡潔純粹的幾何形體成為現代建筑師創作的基本手段。例如現代建筑大師勒·柯布西耶的成名之作薩伏伊別墅，這是一個完美的功能主義作品，簡單到幾乎沒有任何多余裝飾的程度，純粹的幾何形體開拓了又一個新的審美時代。美國建筑師富勒1967年為蒙特利爾博覽會美國館的設計，又一次展現了純粹幾何形體的魅力，這個球形的建筑不僅是形的純粹，更是其三角形金屬網狀結構的精妙應用，體現了以最小的材料創造出最大的內部空間的建筑理念。建筑大師貝聿銘在盧浮宮改擴建的設計中借用古埃及的金字塔造型，并采用了玻璃與金屬材料，簡潔純粹的幾何形體不僅折射出現代藝術的光輝，同時與古老的宮殿形成了功能與形式上的完美結合。

?萬神廟剖面演示

數列之美

希臘建筑的美在很大程度上取決于尺度和比例，勒·柯布西耶曾這樣評說：“帕提農給我們帶來確實的真理和高度數學規律的感受。”古希臘人通過詳細觀察自然界中的種種事物，發現凡是美的物體在形式上都具有和諧的比例關系。比例，簡單地說就是部分與部分、部分與整體之間的數學（倍數）關系，這種認識影響了整個西方建筑的發展。這種數學關系在數學中，被稱為數列，即是把數字按一定的規則加以排列，如著名的斐波那契數列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…）：任意一項是其前兩項之和，且相鄰兩項之比逐漸接近黃金分割。

黃金分割（Golden Section）是數學上一種經典的比例關系。長方形的長為a，寬為b，如果 b：a =（a-b）： b，則為黃金比的長方形。根據算式可以求得：b≈0.618a，a≈1.618b。

公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里德撰寫的《幾何原本》，系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。中世紀后，黃金分割被披上“神秘的外衣”，德國天文學家開普勒稱之為“神圣分割”，到了19世紀，黃金分割這一名稱逐漸通行。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。

對稱是自然界很重要的一種現象，同樣也是一個重要的數學概念。它是一種特殊的比例關系，在空間和形式上能夠表現出一種莊重、穩定、平衡的美。在各國建筑發展的歷程中，我們都能看到建筑師們對于比例關系的不懈追求，也因此，這些建筑常常呈現出平衡、和諧、秩序的美感。

?羅馬斗獸場

在希臘數學邏輯化、幾何化、理念化的特征影響下，希臘建筑強調形和比例，注重立面和單體造型。而古代中國的數學更傾向于以問題為中心的算法體系，在建筑上體現的是對數的強調，注重構件、剖面和群體組合。中國古建筑的所有構件之間都有一種模數關系，“材”就是宋代建筑上的模數。可以說，模數是中國傳統建筑數學之美的內在體現。

黃金分割的另類故事

人在周圍環境溫度為22～24℃時感覺最為舒適。因為人的體溫37℃與0.618的乘積為22.8℃，這一溫度中，人體的新陳代謝、生理節奏和生理功能均處于最佳狀態。

?使用黃金分割比率的帕提農神廟

復雜之美

機器時代的傳統科學傾向于強調穩定、有序、均勻和平衡，最關心封閉系統和線性關系;而新的科學更關心現實世界無序、不穩定、多樣性、不平衡、非線性以及瞬時性的復雜關系。科學對復雜性的探索，導致了數學越出了傳統的概念和對象：從單個或少數變量到多變量，從低維空間到高維空間;從線性問題到非線性問題;從連續、穩定到間斷、突變和不穩定;從平衡的、守恒的、可逆的到非平衡的、耗散的、不可逆的;從決定性的、有序的、周期性的、對稱的到隨機的、無序的、非周期性的、對稱破缺的;從確定到模糊。數學的發展不僅提供了新的發現和新的論斷，更重要的是表達了新的思維方法、新的認識論和新的世界觀，在建筑領域中影響了一批建筑師，產生了新的、更多元的審美趨向。

美國建筑大師弗蘭克·蓋里經常采取拼貼、混雜、并置、錯位、模糊邊界、去中心化、非等級化、無向度性等各種手段，挑戰人們既定的建筑價值觀，他的設計風格顛覆了幾乎全部經典建筑美學原則。其設計的西班牙畢爾巴鄂古根海姆博物館，整個建筑由一群外覆鈦合金板的不規則雙曲面體量組合而成，其形式超出了傳統幾何形態及手段所能描述的范疇，必須在計算機輔助設計軟件、計算機輔助制造系統、3D打印等手段的幫助下才能得以實現。其建成后，出乎意料地受到人們的追捧，也證明著數學的復雜性形成了一種新的審美觀。

?勒·柯布西耶著名的人體模數圖，也運用了斐波那契數列與黃金分割

著名女建筑師扎哈·哈迪德曾在黎巴嫩就讀過數學系，良好的數學素養，使她能夠大膽利用空間，追求自由、精確、流暢的幾何形態。她將一種自由、非線性、動態的形體控制轉化為一種獨特的審美風格。如她設計的蓋達爾·阿利耶夫文化中心，在形式上精心設計的起伏、分叉、折疊還有自由的形態，使廣場的表面變成一個多功能的景觀建筑。建筑四周的廣場與建筑的室內空間之間，建立了一種連續而流動的關系。建筑形態模糊了建筑的邊界，將復雜的非線性數學關系消隱在建筑之中，卻留下了非凡的美感體驗。

拓撲學是新數學的一個方向，它研究幾何圖形和空間在一對一的雙向連續變換下不變的性質，即拓撲性質。一個幾何圖形任意“拉扯”，只要不發生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓撲變形”。兩個圖形通過“拓撲變形”可以變得相同，則稱這兩個圖形是“拓撲同構”。由此可見，球和立方體同構，與輪胎不同構。歐美小住宅和中國四合院的拓撲結構不同，前者與球同構，后者與輪胎同構。

?哈薩克斯坦新國家圖書館方案

拓撲突破了傳統幾何形態中對尺寸、角度和比例的確定性。德國數學家莫比烏斯將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉半周后，把兩端黏合在一起 ，得到的曲面就是無限連續的莫比烏斯圈（M?bius Strip）。

在哈薩克斯坦新國家圖書館的方案競賽中，丹麥BIG事務所的設計作品取得了第一名。他們的設計是將穿越空間與時間的四個世界性經典造型—圓形、環形、拱形和圓頂形—以莫比烏斯圈的形式融合在了一起。BIG事務所設計的2010年世博會丹麥館，同樣采用的是莫比烏斯圈的理念，這座建筑連續的表面即是人們參觀的連續界面，功能與空間完美結合。

恩格斯說過：“數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學”，而建筑恰恰是反映空間形式、數量關系的載體，數學的發展對建筑的發展毫無疑問影響巨大。藝術和數學的本質都是領會事物間的關系，而創造則是從新觀點出發作出的一種領會，美，亦是一種領會，讓我們在建筑中創造、發現、體驗數學之美。

博物館的出爐

?2010年世博會丹麥館

建筑師蓋里在畢爾巴鄂古根海姆博物館的設計中采用的設計策略，與汽車設計非常相似。他先在紙面上通過曲線素描和手工塑形曲面模型自由表達他的初始想法，然后用三維掃描儀捕捉實體模型上重要的頂點、邊或表面的數據，通過諸如NURBS這樣的軟件，將其進一步轉化成數字三維模型，能夠更好地表達流線形狀的微妙之處以及彼此之間的細微差別，并達到極高的精度。而后再由計算機控制的三維打印機和多軸銑床制造新的物理模型，將它們與原來的設計相比較，對其形狀進行修正和調整，直到設計團隊對它們之間的匹配程度感到滿意。

?阿塞拜疆共和國蓋達爾·阿利耶夫文化中心