神秘而奇妙的幻方（上）

林革

1957年，在西安市東郊元代安西王府遺址出土的元朝文物——鐵板幻方

在國內電視娛樂節目《最強大腦》某一期里，就挑戰成功與否，選手與專家展開了激烈爭執，甚至引發了場下的微博大戰。他們所爭執的內容即是神秘而奇妙的幻方。

什么是幻方？幻方有哪些獨特的魅力？就讓我們通過下面的文章了解一下。

幻方是一種起源于我國的傳統數字益智游戲。即把從1到n2個連續的自然數不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和兩條對角線上的n個數的和都相等，這樣排成的數表稱為n階幻方，這個相等的和叫幻和。我國南宋著名數學家楊輝稱之為“縱橫圖”，在其于1275年所著的《繼古摘奇算法》中，不僅給出了構造3階幻方的最簡口訣，而且還記載了4～10階幻方的構造方法。

圖1

圖2

其后，這種古老且神秘的“縱橫圖”于15世紀初經東南亞國家、印度、阿拉伯流傳到西方，在歐洲各國風行一時。就連歐拉和富蘭克林等許多著名數學家和科學家，也對幻方產生濃厚的興趣，并進行了有趣的探索。

由于“縱橫圖”具有變幻莫測、高深奇妙的特性，以至于西方把它稱之為Magic Square，翻譯成中文就是“幻方”。

千百年來，隨著人們對于幻方研究的深入，幻方已經成為數學園地中的一朵奇葩。眾多愛好者癡迷其中，追求更高階、更特別的幻方，研究成果層出不窮。而且幻方的形式已經突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定為從1開始的連續自然數，抑或并非每行、每列及對角線上數字之和相等，而是之差、之積、之商相等，各種稀奇古怪、趣味盎然的非正規幻方不斷走入人們視線，其獨特的構成和性質也引起人們強烈的好奇和關注。

幻方的起源

關于幻方的起源，中國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠古時期，黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖。這就是“河圖” （如圖1）， 據說，伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出八卦。許多研究者認為，這是最早的幻方衍生雛形。后來，大禹治水時，洛水中浮出一只神龜，它背上的圖文被稱之為“洛書”（如圖2）。

圖3

公元6世紀前后，我國南北朝時期的北周數學家甄鸞，曾對“洛書”進行了數學分析，使人們認識到蘊含其中的特性：在這個實際從1到9排成3行3列的“九宮”數表中，每行、每列以及每條對角線上的3個數字之和都相等（等于15），也就是如今的3階幻方（如圖3）。由此，“洛書”成為世人公認的最原始、最低階的幻方，亦被稱為“九宮圖”。

幻方的構作

對于3階幻方的構作，南宋數學家楊輝給出了4句要訣：“九子排列，上下對易，左右相更，四維挺出。”按序操作，任何人都可以輕而易舉地完成。圖解如下：

即先將1～9這些數字按序連續排成菱形位置;然后，將上下兩頭的數字1和9對調，再將左右兩端的數字7和3對調;接著，將緊縮在里面的4個偶數2、4、6、8沿正方形對角形方向挺出到四角，則3階幻方大功告成。

現代數學推導構作3階幻方的步驟是：

先求幻和：幻和=n×（n2+1）÷2，則3階幻方的幻和=3×（32+1）÷2=15;

確定中心數：根據每行、每列和兩條對角線上的幻和相等，以及中心數是第二行、第二列和兩條對角線幻和的公共數，可求出中心數為5，這是關鍵步驟;

定四角數：通過假設法和奇偶性判定四角上的數必為偶數，即2、4、6、8;

定其他數：接著稍加試驗就很快得出完整的3階幻方。

對于更高階的奇數階幻方和偶數階幻方的構作，研究者給出許多奇妙的方法，在此就4階幻方和5階幻方分別介紹一種簡易構作方法。

4階幻方的構作方法——對稱交換法：先將1～16依次按序填入4×4方格中，兩條主對角線上的8個數不變，其余各數按中心對稱交換（即把2和15，3和14，5和12，9和8交換），這樣，就得到了一個4階幻方。

圖4

5階幻方的構作方法——平移補空法：先畫一個如圖5的階梯式圖表，把1～25按傾斜行從右上到左下依次填入圖中;再以中間5×5方格為基礎，畫出一個5階方陣來，按照對稱原理，把方陣外的數按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到對應部分的空格中，即得一個5階幻方（如圖6）。

左：圖5右：圖6

可以想象，不管是奇數階幻方，還是偶數階幻方，不管是正規幻方，還是非正規幻方，要想順利構造出來，都不是件輕而易舉的事。若沒有癡迷陶醉的興趣、鍥而不舍的信念和執著不懈的努力，幾乎可以肯定是徒勞無功的結局。

下面要向大家介紹的各種奇異珍品幻方，其精彩絕倫的背后更是蘊含著創作者的嘔心瀝血和百般巧思，令人在嘆為觀止之余，不禁肅然起敬。

鐵板幻方

國外研究幻方的構造大約從14世紀才開始，比我國要晚1000多年。目前所知外國人所造的最早幻方是于 1957 年在西安東郊元代安西王府遺址出土的元朝文物——鐵板幻方（如題圖）。它們現存于陜西省歷史博物館。據推測，這兩塊鐵板是13世紀時由阿拉伯天文學家札馬魯丁在中國監制而成。就出土地點和時代背景而言，這個鐵板幻方顯然受到中國幻方研究的影響。

經考證鑒定，這塊長14厘米，厚1.5厘米的鐵板上，鑄有阿拉伯數字1～36，恰好構成一個6階幻方。稍加驗證可以發現，這個6階幻方的幻和為111。除此之外，人們還發現了鐵板幻方具備一般6階幻方不具有的奇妙特性：

第一，鐵板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六個數的平方和相等。

第二，去掉鐵板幻方最外一層數字，中間剩下的部分仍然是一個4階幻方（圖7）。這個4階幻方由 11～26 這16個數組成，其每行、每列及兩條對角線上的 4 個數字之和都是 74 。

圖7

第三，上面提到的4階幻方還是一個完美幻方。即各條泛對角線（與兩條主對角線平行同樣經過4個數的線）上的4個數字之和也都是 74。比如：15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。

鐵板幻方是我國數學史上應用阿拉伯數字的最早實物資料，它表明，當時人們對6階幻方的數字秘密已經有了一些基本了解。

畫家幻方

如果說，藝術家有不按常理出牌的特點，那么，中世紀德國著名畫家阿爾勃列希特·丟勒在其功成名就之時，突然宣布開始轉向數學研究，這種跨度似乎就難用心血來潮或別出心裁來解釋了。即便如此，這位酷愛幻方的畫家為其1514 年創作的名畫《憂郁》添加的一個特別的背景——4階幻方（如圖8），足以顯示自己業余愛好的非凡水準。

圖8

用數學眼光來判斷，丟勒苦心經營的4階幻方看似非常普通。唯一比較鮮明的是，幻方最后一行中間兩個數是15和14，恰好隱含了這幅作品的創作年代，似乎也僅此而已。由于已經構成的4階幻方多達880種，為數眾多，各有千秋、精彩紛呈，所以人們當初并沒有對畫中的幻方高看一眼。但到了21世紀，當幻方專家重新瀏覽這則幻方時，竟然發現數百年來“有眼不識泰山”，其中蘊含卻被忽視的種種特性足以讓人刮目相看。

在這個幻方中，角上4個數字之和16+13+4+1=34，等于4階幻方的和常數，這可不是幻方的常規要求，看似無心卻是有意。

在這個幻方中，角上的4個2×2小正方形和中央的一個2×2小正方形的4個數字之和仍等于幻方常數。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的機巧令人眼前一亮。

在這個幻方中，對角線上8個數字之和等于不在對角線上的8個數字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，這顯然出乎人們的意料和想象。

這還沒完，人們繼續嘗試后又有新發現：對角線上8個數字的平方和等于不在對角線上的8個數字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，這就更為奇巧難得了。

隨后，研究者繼續下面的嘗試并發現：對角線上8個數字的立方和等于不在對角線上的8個數字的立方和，大家不妨驗證一下，它們的和常數都為9248。如此“不變其宗”的機變實在讓人拍案叫絕。

一個畫家的數學造詣和精巧構思竟然如此高深，配合珠聯璧合的挖掘真是叫人嘆服。

“富蘭克林幻方”

富蘭克林是18世紀美國最偉大的科學家，著名的政治家和文學家，其捕捉雷電的故事廣為人知。令人驚訝的是，他還是位頗有才華的數學愛好者，曾對幻方進行過深入研究，并制作過一則由1～64組成的8階幻方，其中還包含4個子幻方（如圖9），至今讓幻方迷津津樂道。

稍加辨析，“富蘭克林幻方” 除了每行每列的8個數字之和都等于260以外，其內蘊的其他種種奇妙性質，讓人在細細回味之余驚訝不已。

圖9

首先，4個子幻方的每行、每列上各數和為130。

其次，幻方角上的4個數與最中心4個數之和等于幻和值260。

第三，從16到10，再從23到17所成折線“∧”上8個數字之和也為 260; 且平行這種折線的其他 “∧”（包括中斷進行增補）上的8個數字之和也為260。

第四，由任意4個小方格組成的2×2正方形中，4個數字之和都是130。

最后，任何4個與中心等距離且位于子幻方中對等（對稱）位置的數之和為130。比如：3+30+63+34=5+28+57+40=130。

圖10

“富蘭克林幻方”雖然變化多端;但美中不足的是，它的對角線上8個數字之和不等于260，這也導致4個子幻方的對角線上的4個數字之和不等于130。這并不符合經典幻方的定義。即便如此，“富蘭克林幻方”仍以其非凡的特性，獲得幻方研究者的一致好評和推崇。

幻方大王

“富蘭克林幻方”的小小缺憾，引發了無數幻方愛好者的興趣，許多人都潛心研究試圖達成圓滿。俗話說“功夫不負有心人”，隨著人們的不懈努力，這個問題最終被幻方大王弗里安遜圓滿解決。弗氏構造的8階幻方（如圖10）完美解決了“富蘭克林幻方”存在的小缺陷，并且具備更多奇妙的特性，讓人回味無窮、嘆為觀止。

稍加驗證可知，這是一個精確的8階幻方。每行、每列和兩條對角線上的8個數字之和都等于幻和260。

4個子幻方的每行、每列和兩條對角線上的4個數字之和都等于130。

幻方的中間4排可以構成左右兩個4階幻方（如圖陰影部分），幻和都是130。

圖中含有25個2×2小正方形（按上下左右的順序有16個，再加上標注中心 的9個，彼此沒有重疊），每個方陣中的4個數字之和都等于130。

圖中含有24個3×3小正方形（最上面3排可構成4個，依次往下共計類似6種情形），每個方陣中的角上4個數字之和都等于130。

圖中取出任何一個4×4小正方形，其中各數字之和都等于520。

圖中取出任何一個5×5小正方形，角上的4個數字都成等差數列。

圖中任何一個長方形，只要以 為中心的，角上4個數字之和也都等于130。

除此之外，圖中甚至還暗含8個數字之和都等于260的垂直鋸齒形、水平鋸齒形等特殊序列。

不愧是幻方大王，如此巧思竭慮、妙不可言的幻方，確實算得上是幻方中的大王。（未完待續）

【責任編輯】趙 ?菲