基于Nevanlinna—Pick插值的跟蹤系統H∞魯棒控制器設計

劉斌+柳玉昕+潘穎+孫久強+崔洋洋

摘??要：傳統的H∞魯棒控制器通常都是基于線性矩陣不等式求解的，因此階次較高，不利于實現，而基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器設計方法能夠有效的解決這一問題。本文提出了一種改進的同倫算法用于求解控制器設計過程中出現的非線性方程，避免了經典同倫法中逆矩陣的求解。針對某一跟蹤系統設計了基于Nevanlinna-Pick插值的H∞魯棒控制器，通過階躍響應和正弦信號的跟蹤響應可以看出，與高階滯后超前校正環節相比，前者構成閉環系統的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強的魯棒穩定性。

關鍵詞：Nevanlinna-Pick插值;跟蹤系統;魯棒控制

中圖分類號：TP13 ???? 文獻標識碼：A

H∞?Robust?Controller?Design?for?Tracking?System?Via?Nevanlinna-Pick?Interpolation

Liu?Bin，?Liu?Yu-xin，?Pan?Ying，?Sun?Jiu-qiang，?Cui?Yang-yang??（School?of?Electrical?and?Information?Engineering，?Northeast?Petroleum?University，?Daqing?163318，?China，?E-mail：?liubin.nepu@hotmail.com?）

Abstract：?Traditional?H∞?robust?controllers?are?designed?by?solving?linear?matrix?inequalities，?which?have?higher?degree?and?are?difficult?to?be?realized.?A?new?design?method?of?H∞?robust?controller?is?proposed?based?on?Nevanlinna-Pick?interpolation，?where?a?modified?homotopy?method?is?introduced?to?solve?the?nonlinear?algebraic?equations?induced?in?the?design?process?avoiding?calculating?the?matrix?inverse.?The?robust?controller?is?designed?for?tracking?system.?From?both?step?response?and?sinusoidal?response，?the?proposed?H∞?robust?controller?has?higher?accuracy?and?robustness?compared?with?lead-lag?compensator.

Key?words：?Nevanlinna-Pick?Interpolation;?Tracking?System;?Robust?Control

1?引言

H∞魯棒控制理論作為魯棒控制的一個重要研究內容得到了廣泛的研究和應用，不但在線性時不變系統取得了豐富的研究成果[1-5]，而且在時滯系統、時變時滯系統等領域也得到了深入的研究[6-8]。針對網絡控制系統中存在時變采樣周期、長時延以及丟包、量化誤差等現象，相應的網絡控制系統H∞控制問題同樣得到了廣大學者的關注[9-14]。

目前，常用的H∞控制器設計方法有模型匹配法、加權函數法、Lyapunov函數法等，并通過線性矩陣不等式（LMI，Linear?Matrix?Inequalities）求解相應的控制器。但是，基于LMI求解的控制器階次較高，這種高階控制器不但不利于實現，而且可能會引起時滯，進而導致控制系統的品質變差，甚至影響系統的穩定性。靈敏度最小化問題作為設計反饋控制器的核心問題之一，文獻[15]首次給出了求解靈敏度函數最小化問題的完整解決方案，但是只分析了靈敏度最小化與Nevanlinna-Pick插值之間的關系;文獻[16]將具有階次約束的Nevanlinna-Pick插值應用于解決靈敏度函數問題;文獻[17]詳細研究了控制系統的性能指標轉與靈敏度函數之間的關系，并提出了一種改進的同倫算法用于求解Nevanlinna-Pick插值算法產生的非線性方程。本文以跟蹤系統中的穩定回路為控制對象，設計了具有階次約束的H∞魯棒控制器，特別是當外部干擾和系統不確定性同時存在時，通過仿真實驗研究了系統的跟蹤性能及其干擾抑制能力。

2?Nevanlinna-Pick插值與魯棒控制器設計

稱之為跟蹤系統的靈敏度函數。顯然，S同時也是從干擾d到輸出y的傳遞函數。由于反饋控制系統中幾乎所有的性能指標都可以用靈敏度函數來表示，因此本文研究的具有階次約束的H∞魯棒控制器就是基于閉環系統的靈敏度函數S來設計的。

圖1?反饋系統結構

由文獻[17]可知，具有階次約束的H∞魯棒控制器設計問題與下面最優化問題是等價

針對非線性方程，可采用連續法求解該非線性方程。但是，傳統的連續法需要求解矩陣的逆，計算量較大。基于傳統的連續法思想，提出了一種改進的同倫法，不僅避免了求解矩陣的逆，而且新算法受迭代初值的影響較小，收斂速度快。

3改進的同倫算法

3.1??同倫法的基本思想

圖2?改進的同倫算法流程圖

4仿真實例

現在對于陀螺穩定跟蹤系統的實際控制方法，大多是基于傳統的時域PID控制，或是頻域中的超前滯后校正算法。張智永在其博士論文中指出[18]：在實際實驗中，由于低頻處機械諧振和一些不確定因素的影響，滯后超前校正在抵抗載體擾動方面的效果不是很理想。究其原因，一是沒有有效抑制低頻機械諧振，二是開環增益不夠高，不能有效消除摩擦等干擾力矩對系統精度的影響。為了改善控制效果，張智永提出采用高階滯后超前控制器的方案。假設本文采用與文獻[18]相同的跟蹤系統穩定回路，具有相同的被控對象模型、性能指標以及不確定性：

，

，

分別對階躍響應、干擾存在時的跟蹤效果以及干擾與模型不確定性同時存在時的跟蹤效果進行了仿真，并與高階滯后超前校正環節的控制效果進行了對比。圖3至圖5中的NPDCoutput和LEADLAGoutput分別表示本文設計的魯棒控制器和高階滯后超前校正環節作用下系統輸出曲線。

4.1階躍響應

由圖3中可以看出，相對于LEADLAGoutput1而言，NPDCoutput1的超調小、響應速度快。當被控對象存在由式描述的不確定性時，LEADLAGoutput2超調增加，出現了明顯的振蕩，而NPDCoutput2幾乎不受不確定性的影響。

圖3?階躍響應曲線

4.2跟蹤響應：模型不確定性與干擾同時存在

當被控對象存在如式所描述的不確定性時，分析模型不確定性與外部干擾對閉環系統輸出的影響。設定值分別選為（低頻）、（高頻），外部干擾選為幅值為1，持續時間分別為0.2s和0.02s的脈沖信號，其作用時刻分別為和，閉環系統輸出如圖4和圖5所示。

圖4?設定值頻率為3Hz時的跟蹤曲線

圖5?設定值頻率為30Hz時的跟蹤曲線

當設定值的頻率為f=3Hz（低頻）時，兩種類型控制器作用下的閉環系統輸出相差不大，只是對干擾信號的過渡過程有所不同。由圖4可以看出，NPDCoutput1的過渡時間較LEADLAGoutput1短，說明該閉環系統對于快變的干擾具有較強的抑制效果，具有較強的魯棒穩定性。此時，被控對象的不確定性對跟蹤效果和干擾抑制能力的影響不大。

當參考信號頻率較高f=30Hz（高頻）時，由圖5可以看出兩種類型的控制器的控制效果差別較大。對于在0.015s時刻出現的持續時間為0.02s的脈沖干擾，NPDCoutput2與NPDCoutput1相差不大，但是NPDCoutput2的過渡時間明顯小于LEADLAGoutput2的過渡時間，且振蕩幅度較小。以高階滯后超前校正環節構成的跟蹤系統的控制效果明顯變差，跟蹤信號出現了較大的延遲，其干擾抑制能力較魯棒控制器的干擾抑制能力明顯變弱，且跟蹤信號的幅值有明顯的衰減。當被控對象存在不確定性時，與LEADLAGoutput1相比，LEADLAGoutput2超調量大幅增加，整體跟蹤效果明顯變差。

通過圖4與圖5的可以看出，基于靈敏度函數設計的魯棒控制器與高階滯后超前校正環節相比，前者構成閉環系統的跟蹤精度要比后者的控制精度高，且具有較強的魯棒穩定性。

5結論

本文研究了一種具有階次約束的H∞魯棒控制器設計算法，特別是提出了一種改進的同倫算法并將其用于求解非線性方程，不但可以減小運算量、而且降低了迭代初值對運算結果的影響。最后，將具有階次約束的魯棒控制器應用于跟蹤系統的穩定回路控制，取得了較好的控制效果。由仿真實驗和分析結果可以看出，與傳統的超前滯后校正環節相比，基于本文方法設計的H∞魯棒控制器，不僅具有較低的階次，而且能有效的抑制干擾對跟蹤系統的影響，即使被控對象存在不確定性時也能夠很好地實現目標跟蹤，滿足跟蹤系統的性能要求。

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