高等數學數形結合教學法的研究與實踐
——以山東建筑大學為例

王爽，李秀珍，趙永謙，孫亞楠（.山東建筑大學理學院，山東濟南　500；.山東醫學高等專科學校，山東濟南　5000）

高等數學數形結合教學法的研究與實踐
——以山東建筑大學為例

王爽1，李秀珍1，趙永謙1，孫亞楠2
（1.山東建筑大學理學院，山東濟南250101；2.山東醫學高等專科學校，山東濟南250002）

高等數學是工科院校學生的重要基礎理論課，運用數形結合教學法可以將抽象的概念直觀化，提高學生的積極性和學習效率。文章結合山東建筑大學高等數學教學，分析了教學過程中幾何教學法存在的問題和數形結合的重要性，提出了可以用于教學實踐的數形結合教學方法，采用啟發式教學法與幾何教學法相結合的手段，通過分析圖像提出問題引導學生學習，并在山東建筑大學高等數學教學中取得了一定的成績。

高等數學；數形結合；直觀性；抽象概念；動態圖像

0　引言

高等數學是一門重要的基礎理論課，其教學效果直接影響工科類專業的本科教學質量以及創新人才的培養。高等數學的內容嚴謹，高度邏輯性的分析語言體現了數學之美，但是抽象的數學概念也造成了學生理解上的困難，如何改進高等數學的教學過程一直是教學研究的重要課題。2015年教師節前夕，李克強總理提出希望教師做精做細教學本職激發和挖掘學生的創新能力。在教學手段日益豐富的今天，教師應該思考適應時代要求、適于學生學習的教學方法，培養學生的數學思維，激發學生的創新能力。

隨著多媒體課件以及數學軟件的興起，幾何教學法近年來越來越受到重視［1］。幾何圖像可以將抽象的高等數學概念具體化，使學生通過形象思維直觀地理解概念，但是單純應用幾何圖像教學往往具有具體性的特征，無法展示數學的邏輯性。已有文獻多是對幾何圖像進行舉例展示，較少涉及對幾何圖像的引入分析［2-3］。如果教師在幾何教學的過程中通過提問、對比等方式啟發學生思考，使學生能夠用代數語言描述幾何問題，或者用幾何圖像分析代數問題，那么對于培養學生的創造力和解決問題的能力都有重要意義。

文章結合山東建筑大學數學教學，分析了教學過程中幾何教學法存在的問題和數形結合的重要性，將啟發式教學法［4］與幾何教學法相結合，通過分類舉例詳細說明數形結合教學法在高等數學中的應用，在對教學內容進行幾何展示的同時，分析幾何圖像并提出問題，引導學生用數學思維去觀察、解決問題。

1　高等數學教學中幾何教學法存在的問題

1.1教學學時不足和資源有限

高等數學是工科類專業學生學習后續技能的必備課程，例如大學物理、力學、電學等課程都用到了高等數學的知識，機械設計課程與定積分的幾何應用密切相關。但是高等數學課程教學學時不足，教師只能將教學內容進行壓縮，刪減復雜的定理證明，忽視引導學生從問題來源和幾何直觀化方面理解概念定理，缺少必要的幾何應用訓練教學［5］。普通工科院校的另一現狀是教學資源有限，以山東建筑大學為例，高等數學采用大班授課，學生過多導致教師無法兼顧每一個學生的學習特點和學習進度，不能采用以學生討論為主的教學方法，學生被動地接受知識，缺乏獨立思考和創新思維的能力。

1.2教學方法單一

學生對課程的關注度主要由學生的學習熱情和積極性決定，幾何教學法可以將數學的美和神奇展現出來，使學生在生動活躍的學習環境中培養對數學的興趣。但是教師過分強調幾何圖像的展示，缺少對數學思想的闡述，或者以幾何圖像代替對定理概念的理論證明，使得學生對問題的認識僅能停留在感性階段，難以上升到理性階段［8］。建筑工程中存在著大量的幾何問題，而高等數學的定理概念都是用代數語言去描述的，如果學生不知道代數理論與幾何現象之間的聯系，那么面對工程問題時就難以應用所學的數學知識解決實際問題。

1.3教學應用存在誤區

借助于現代教具，教師可以通過數學軟件的作圖能力構造生動準確的幾何圖像，解決板書教學時難以處理的作圖問題［6-7］。但是教師在做幾何展示的過程中容易產生以偏概全的假象，學生會錯誤地認為通過構造特殊函數的幾何圖像可以代替應用嚴格的分析語言證明定理。事實上采用幾何圖像演示教學內容在本質上說是通過舉例的方法進行授課列舉法不能涵蓋所有的情況，因此在教學時需要慎重選擇幾何示例，并說明舉例的特殊性，必要時可以選取多個幾何示例作對照。

2　高等數學數形結合教學法的重要性

分析高等數學的內容和方法會發現，研究幾何問題是微積分的重要起源，也滲透于高等數學的每一個章節［9］。有些直觀的幾何現象用抽象的數學分析語言描述出來就是高等數學中的概念定理。應用幾何圖像可以直觀地理解抽象概念［10］、尋找證明思路、化簡積分的計算［11-12］，化難為易。

數形結合的過程既是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，實現抽象概念與形象表現之間轉化的過程，也是學生的形象思維與抽象思維共同運用互相促進的過程，學生通過形象思維理解數學概念可以提高學習積極性和學習效率。因此可以應用數形結合的方法啟迪學生思考、激發學生興趣。

我國古代從宋元時期就形成了數形結合的思想，通過用代數語言描述一些幾何現象，將幾何關系的研究歸結為函數表達式之間的代數關系，成為解析幾何的先驅。因此教師在高等數學教學中加強培養學生的興趣和應用數學知識解決問題的能力有很重要的實際意義。

3　高等數學數形結合教學改革方法

針對高等數學教學中幾何教學法存在的問題考慮到工科院校教學學時不足、教學資源有限的現狀一時難以改變，提出如下改革方法:

3.1重視對數學思維的闡述

圖1　曲線凹凸性示意圖

由圖像得到了凹凸性的定義，進一步地通過圖像總結出判定定理。為得到凹凸性和導數之間的關系，根據導數的幾何意義，可以過曲線上自變量依次遞增的三個點做切線，讓學生觀察這三點處曲線的切線傾斜程度。學生對比發現圖1（c）中凹弧的切線傾角隨著自變量的增大而增大，即一階導數單調遞增，如果函數二階導數存在，那么二階導數大于0。而圖1（d）中凸弧恰好相反，切線傾角隨著自變量的增大而減小，即一階導數單調遞減，二階導數小于0。得到了凹凸性的判定定理后，再結合圖像加以證明。最后，為避免學生混淆凹凸性與二階導數的關系，可以通過圖1（c）和圖1（d）中右上角的符號幫助學生加深記憶，凹弧二階導數符號為正，凸弧二階導數符號為負。

再比如，在學習一元函數與極限中無窮大的概念時，學生經常將無窮大與無界函數的概念相混淆無窮大的定義為［13］:如果對于任意給定的正數M總存在正數δ（或正數X），只要0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）時，函數f（x）的絕對值都大于M，那么稱f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大。而無界函數的定義為［13］:如果對于任意給定的正數M，總存在f（x）的定義域內的一點x0，使得函數f（x）的絕對值大于M，那么稱f（x）在定義域內是無界函數。從數學分析語言上學生難以理解和區分這兩個概念，此時可以借助幾何圖像舉例說明。例如:函數y=e是當x→+∞時的無窮大，其圖像如圖2（a）所示當x→+∞時，函數值逐漸增大，函數曲線向y軸的正無窮方向延伸，通過在y軸上任意選取y=M，總可以對應地找到x0=X，使得|x|＞X時，|ex|＞M。

圖2　無窮大與無界函數對比圖示意圖

與之相對應地，無界函數y=xcosx不是當x→+∞ 時的無窮大［14］，其圖像如圖2（b）所示，當x→+∞時，函數值的振蕩幅度雖然逐漸增大，并趨向于y軸的正負無窮方向，但是函數值始終會回落到y=0附近，此時任意選取y=M，當x→+∞時，不僅存在使|f（x）|＞M的點，也存在使|f（x）|≤M的點x1，即當x→+∞時函數f（x）的絕對值并不一致趨于+∞。

以上的教學實例都是結合抽象概念的幾何圖形，通過對比圖形加深學生對概念的理解。教師不僅借助幾何意義解釋概念定理，更注重引導學生用數學語言描述現實中的幾何現象，使學生理解數學是描述現實世界的工具，認識數學的重要性。

圖3　四分之一的單位圓示意圖

3.2應用幾何圖像啟發學生思考

又如中值定理是用分析語言描述連續曲線在閉區間上的幾何現象，因為曲線方程由抽象函數表示，所以證明定理存在困難。在講解拉格朗日中值定理時，教師先對比了圖4中的（a）和（b）:觀察圖4（a）滿足羅爾定理的情況可以發現，如果一條連續的曲線弧，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，且過兩個端點的弦AB平行于x軸，那么必在AB間存在最高點C，過C點的切線平行于x軸，也即平行于弦AB，切線斜率為0。將圖4（a）中的弦AB以A為中心旋轉任意角度就得到圖4（b），曲線端點A、B不再有高度相等的限制，但過點C的切線平行于弦AB的性質仍然成立，因此過點C的切線斜率等于弦AB的斜率。

圖4　中值定理的幾何意義示意圖

以上的教學實例說明，結合幾何圖形可以改變以往對證明過程繁瑣沉悶的講解方法，開拓學生的思路，幫助學生形成數學思維，活躍課堂氛圍，但是不能避繁就簡，代替定理在理論上的證明過程。

3.3合理選取幾何示例充實教學內容

除了一些從幾何空間中抽象出的數學概念外，還有一些表面上并不具有幾何直觀意義的數學概念可以通過幾何圖像加深理解。例如，在學習無窮級數這一概念時，學生難以理解為什么需要將函數表達成無窮級數，因此難以對無窮級數的相關理論產生興趣。采用幾何圖像演示的方法可以使學生看到簡單函數的圖像是如何逐漸接近于復雜函數圖像的，繼而了解用簡單函數構成的無窮級數來表達復雜函數是刻畫復雜函數的有效方法。

圖5　冪級數部分和逼近ex的示意圖

圖6　傅里葉級數部分和形成的波形圖

4　應用數形結合教學法取得的成效

我校高等數學教學團隊在深入挖掘教學內容的基礎上，對每個知識點都找到相應的幾何意義，并對教學時所展示的幾何圖像補充相應的問題和說明分析，使得教學內容不僅呈現出數學的美，更加體現出數學的邏輯思維。在工學及物理類專業的高等數學教學中應用了數形結合方法后，在課時量不變的情況下，增加了師生間的互動，例如講解微分中值定理時，以往的教學過程主要以教師講解為主，現在教師結合圖像可以提出兩到三個啟發性的問題，學生通過發現總結等主體思維過程主導定理的推導過程成為課堂的主人，最終學生對三個中值定理之間的關系更加明確。

借助山東建筑大學課程教學質量學生評分體系，對應用數形結合方法前后各兩個學年的得分情況進行對比，發現學生對以下五個指標的測評滿意度明顯增高:“教師能有效利用實例授課”、“注重思維能力培養及啟發式教學”，“備課充分，多媒體課件制作精良效果好”“授課內容易于接受和掌握，學生的知識和能力得以提高”“課堂教學氣氛活躍，教學效果得以保證”。通過對材料學院成型焊接兩個專業學生的調研發現，學生的出勤率增加了，課后提問的學生人數也增加了，說明學生的學習主動性得以提高。

需要說明的是，在講解時應用數形結合常常會給學生一種以偏概全的假象，學生會錯誤地認為通過構造特殊函數的幾何圖像可以代替應用嚴格的分析語言證明定理。事實上采用幾何圖像演示教學內容在本質上說是通過舉例的方法進行授課，列舉法不能涵蓋所有的情況，因此在教學時需要慎重選擇幾何示例，并說明舉例的特殊性，必要時可以選取多個幾何示例作對照。

5　結語

文章分析了高等數學教學中存在的問題，提出了以培養學生數學思維、創新能力為最終目的的數形結合教學法，并針對教學過程中所發現的學生難以理解的知識點為例，給出了可以用于實踐的數形結合教學方法。文章所舉實例從多個方面說明了數形結合不僅可以生動地展現高等數學的教學內容還可以將抽象概念直觀化、開拓學生思路、拓展學生想象力，在活躍課堂氛圍、增加學生學習興趣的同時，培養學生分析問題解決問題的能力。

［1］Timothy P.，Charlene N..Analyzing the teaching of advanced mathematics coursesviatheenactedexamplespace［J］. Educational Studies in Mathematics，2014，87（3）:323-349.

［2］Ghislaine G.，Luc T..Mathematics teacher education advanced methods:an example in dynamic geometry［J］.Mathematics Education.2011，43（3）:399-411.

［3］李志明，李宏偉.例說加強高等數學課程中的幾何教學［J］.大學數學，2013，29（3）:136-138.

［4］葛倩，李秀珍.高等數學研究性教學方案探析［J］.山東建筑大學學報，2013，28（1）:82-85.

［5］袁玉波，曹飛龍.基于幾何直觀的微積分教學內容改革探索［J］.大學數學，2010，26（1）:102-104.

［6］王儉俠，龔力強.Maple在高等數學教學中的應用［J］.廣州大學學報（自然科學版），2002（6）:67-73.

［7］張穎，吳建華.高等數學多媒體輔助教學的實踐與思考［J］.高等數學研究，2006，9（4）:110-112.

［8］薛洪.高等數學教學中的直觀教學［J］.大學時代，200 （11）:114-115.

［9］高永良，王燕燕.幾何學在高等數學教育中的作用［J］.開封大學學報，2010（8）:76-77.

［10］趙小艷，李換琴.借助幾何圖形理解高等數學中的抽象概念和結論［J］.大學數學，2014，30（1）:84-87.

［11］李長青.高等數學教學中應重視幾何直觀的作用［J］.高等數學研究，2007，10（2）:25-27.

［12］程新躍，劉祥偉.關于高等數學課程中幾何教學的認識與實踐［J］.高等數學研究，2006，9（3）:11-13.

［13］同濟大學數學系.高等數學（第6版）［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［14］李秀珍，隋梅真.高等數學全程學習指導［M］.北京:北京郵電大學出版社，2011.

［15］菅小艷.MATLAB在高等數學中的應用［J］.計算機時代2011（5）:51-53.

（學科責編：王光銀）

Application of geometric interpretation in the advanced mathematics teaching

Wang Shuang，Li Xiuzhen，Zhao Yongqian，et al.
（School of Science，Shandong Jianzhu University，Jinan 250101，China）

Advanced mathematics is an important foundation of the whole university learning for engineering college students.The geometric interpretation method can be beneficial to illustrate the abstract concepts and stimulate the students'interest.According to the actual experience of higher mathematics teaching in Shandong Jianzhu University，this paper analyzes the problems of geometry teaching method and the importance of combining abstract mathematical conclusions with geometry. Then，the geometric interpretation method is proposed which combines heuristic teaching method and geometry teaching method.Through asking appropriate questions and the analysis of images，teachers guide the students'learning process and have made some achievements in higher mathematics teaching of Shandong Jianzhu University.

advanced mathematics；geometric representations；visibility；abstract concepts；dynamic image

O13-4；G642

A

1673-7644（2015）06-0600-07

2015-07-06

山東省高等學校教學改革研究項目（2009262）；山東省高等學校教學改革研究項目（2012298）；山東建筑大學博士科研基金（XNBS1338）

王爽（1984-），女，講師，博士，主要從事數學教學和科學計算等研究.E-mail:persever1019@163.com