考研高等數(shù)學(xué)中的極限試題分析

夏 天

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025）

極限概念在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位，它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容之中。因此，在每年的考研的高等數(shù)學(xué)試題中，必有求極限方面的試題。本文首先對(duì)極限試題的題型作一概括介紹，然后針對(duì)每種題型，根據(jù)夏天所提的“難度系數(shù)法”（見(jiàn)文獻(xiàn)[1]）來(lái)分析題型。所謂的“難度系數(shù)法”，就是根據(jù)解題時(shí)所用公式、概念的難度以及所用知識(shí)點(diǎn)的多少，將其難度劃分為若干等級(jí)，進(jìn)行綜合打分。最后，根據(jù)這個(gè)綜合打分，來(lái)解釋極限試題常考的題型。

極限試題的類(lèi)型可分為以下幾大類(lèi)（主要參考了文獻(xiàn)[3]）：

（2）冪指型極限求法，即型的極限。利用冪指函數(shù)的運(yùn)算法則求極限。 比如：若 xn＞0，n=1，2，…，且

但對(duì)于 00、1∞、∞0型的極限，需利用對(duì)數(shù)恒等式，將化為

（3）利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限。比如：有界變量與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小。

（4）利用等價(jià)無(wú)窮小求極限。比如：當(dāng)x→0時(shí)，

對(duì)于1∞型的極限，常常可利用重要極限來(lái)求極限。

（6）利用 L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限。

解題常用的技巧是：將分子或分母中的某些因子，利用等價(jià)無(wú)窮小，化為x的冪的形式，

（8）利用定積分的定義求極限。

（9）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

對(duì)于連續(xù)函數(shù)，求極限時(shí)，函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換。主要利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)求極限。

上面只是例舉了一些常見(jiàn)的求極限的題型。當(dāng)然，求極限的方法還有很多，比如：利用兩邊夾法則求極限，利用單調(diào)有界原理求極限等等，但由于研究生數(shù)學(xué)考試大綱沒(méi)有提出要掌握這些內(nèi)容。本文就不做分析了。

本文對(duì)于求極限的題型，根據(jù)所用的公式、概念和方法，將其難度分為三個(gè)等級(jí)，其難度系數(shù)分別賦予值1、1.5、2。比如，對(duì)于題型1，其計(jì)算公式很簡(jiǎn)單，難度系數(shù)定義為1；再比如，對(duì)于題型2，一般利用恒等式，將 a（x）b（x）化為 eb（x）lna（x），再根據(jù)極限的運(yùn)算法則，求 limeb（x）lna（x），其難度系數(shù)為1.5；至于題型4，用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)求極限，由于無(wú)窮小的概念較難理解，且等價(jià)無(wú)窮小涉及的公式較多，故難度系數(shù)規(guī)定為2.

對(duì)于題型，根據(jù)其解題時(shí)所用到的知識(shí)點(diǎn)的多少，對(duì)其難度進(jìn)行打分。所用的知識(shí)點(diǎn)多，難度系數(shù)就高，所用的知識(shí)點(diǎn)少，難度系數(shù)就低。比如：題型1，只用到簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，故難度系數(shù)定義為1；再比如：題型 2，一般利用恒等式，將 a（x）b（x）化為 eb（x）lna（x）后，主要求乘積項(xiàng)的極限limb（x）lna（x），這時(shí)可能用到等價(jià)無(wú)窮小的方法，也可能用到羅必達(dá)法則，等等，靈活性較大，故其難度系數(shù)規(guī)定為2。至于用羅必達(dá)法則求極限，可能要多次使用羅必達(dá)法則，運(yùn)算量較大，且在求解的過(guò)程中，可能還需用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)化簡(jiǎn)，因此難度系數(shù)規(guī)定≥2。

下面我們將求極限的主要題型，對(duì)其綜合難度系數(shù)進(jìn)行了如下分析：

表1 難度系數(shù)表

近年來(lái)，考研高等數(shù)學(xué)的試題中，每年都有極限的試題，這些試題基本上是考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，這類(lèi)考題其綜合難度系數(shù)一般≥3，下面針對(duì)近年來(lái)的試題作具體的分析。下面的習(xí)題1-9，見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

（1）(2007年數(shù)學(xué)一、三 (11),填空題，4分)

答案：0。

難度分析：題型3，利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限，難度系數(shù)為3。

（2）(2008年數(shù)學(xué)一、三(15),解答題，10分)求極限

難度分析：題型6，利用L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限。首先用了一個(gè)技巧，將難度系數(shù)為≥1；然后利用等價(jià)無(wú)窮小：ln（ 1+x）~x（當(dāng)x→0時(shí)）來(lái)進(jìn)行代換，難度系數(shù)為1；最后，利用羅必達(dá)法則來(lái)求極限，難度系數(shù)為1；故本大題綜合難度系數(shù)為≥3。

（4）(2010 年數(shù)學(xué)一、三（1）,選擇題，4 分）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案：（C）

（5）(2010 年數(shù)學(xué)一、三（15）,解答題，10 分）求極限

難度分析：題型2，冪指型極限。用到對(duì)數(shù)恒等式、羅必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小代換，綜合難度系數(shù)≥3.

（6）(2011 年 數(shù) 學(xué) 一 、 三 （15）, 解 答 題 ，10 分 ） 求 極 限

解：

難度分析：題型6，用羅必達(dá)法則求極限。第一步，將ln（1+x）替換為等價(jià)無(wú)窮小x，難度系數(shù)為1；后面反復(fù)用羅必達(dá)法則，難度系數(shù)為3；綜合難度系數(shù)為4.

（7） (2012 年 數(shù) 學(xué) 一 、 三 （9）, 填 空 題 ，4 分 )

解：

1∞型。也可利用重要極限來(lái)求。事實(shí)上，

難度分析：題型2：冪指型極限，難度系數(shù)為3。

從上面的分析可見(jiàn)，解答題的試題，都是出現(xiàn)在難度系數(shù)≥3的部分。因此，同學(xué)們?cè)诳佳袕?fù)習(xí)時(shí)，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)難度系數(shù)表中綜合難度系數(shù)≥3的內(nèi)容。常考的題型是：冪指型極限求法（題型2），利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限（題型3），利用等價(jià)無(wú)窮小求極限（題型4），利用重要極限求極限（題型 5），利用 L’Hospital(羅必達(dá))法則求極限（題型6）。而等價(jià)無(wú)窮小方法(題型4)，又常常與其他方法結(jié)合使用，因此顯得更為重要。同學(xué)們要特別加以重視。

［1］夏天.考研高等數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)試題分析[J].考試周刊，2013,19:3-5.

［2］2007年~2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題[OL].中國(guó)教育在線，www.edu.cn，