基于矩陣編碼的遺傳算法多雜質間歇用水網絡優化

葉夢晴，解新安，李璐，李雁

（華南農業大學食品學院，廣東 廣州 510642）

引 言

我國現在所面臨的水資源問題一方面是水資源嚴重緊缺，另一方面是水資源的浪費和污染。食品工業、造紙工業、精細化工等工業過程不僅是用水大戶，同時也是廢水排放和環境污染的重要源頭[1-2]。間歇過程以其生產過程靈活、易于控制、產品質量穩定等優點而被廣泛應用，同時由于其動態性、多路徑等特點也使其用水網絡的設計更加復雜[3-4]。

針對用水網絡優化的方法主要有圖解法、數學規劃法和智能算法[5]。圖解法簡單直觀，但是無法解決多雜質、需要調度、有工藝限制等較復雜的過程。數學規劃法是實現同步優化策略的主要工具，但由于數學模型具有維數多、非凸性和非線性等特性，因此經典數學規劃法在求解用水網絡優化問題時一般需要對超結構或者約束條件進行處理，在這個處理過程有可能刪去最優解，且具體的處理方法需要依據不同的實際問題進行，因此通用性較低[5-7]。隨著計算機的發展，智能算法越來越多地被用于各個領域求解大規模非線性優化問題。Luo 等[8]和王猛等[9]將粒子群算法應用到水網絡優化設計中； Prakotpol 等[10]、Lavric 等[11]和林瓦妹等[12]將遺傳算法應用于用水網絡數學模型的求解；都健等[13]將遺傳算法嵌入模擬退火算法的內循環中對用水網絡進行求解；李鳳喜等[14]將隊列競爭算法和序列二次規劃法進行融合，并用于水網絡優化。這些智能算法主要是針對連續過程的用水網絡，本文針對間歇過程用水網絡，提出了基于矩陣編碼的遺傳算 法[15-16]求解多雜質間歇用水網絡優化設計問題，采用矩陣的編碼方式可清晰地表示用水單元間的回用關系，便于進行調度約束，并且通過實例計算驗證該方法的可行性。

1 多雜質間歇用水網絡同步優化數學模型

1.1 問題描述

有N個用水單元（記為集合N={i|i=1,2,…,N}），存在M種雜質（記為集合M={s|s=1,2,…,M}），每個用水單元對進口水流中所含的雜質有最大進口濃度限制，每個用水單元出口水流中所含雜質也有最大出口濃度限制，每個用水單元通過的水流量有最大水流量Fmax的限制，用水單元之間的用水調度過程需要滿足雜質濃度和用水時間的雙重約束，目標是要確定整個用水系統的最小新鮮水用量。

1.2 多雜質間歇過程用水網絡超結構

對于該超結構，作如下假設：①單一周期內，每個用水單元執行有限次任務；②各用水單元的進水和排水過程是瞬間完成，即進水和排水不耗費時間；③給定每個用水單元的極限進出口濃度、極限進水量及雜質負荷；④考慮到用水操作調度，給定每個用水單元的操作開始時間和結束時間或操作時間長度。

無儲罐多雜質間歇過程用水網絡的超結構如圖1[4]所示，用水單元的進水可以來自上一個用水單元和新鮮水源，出水可以流向下一個用水單元或作為廢水排出。

圖1 無儲罐過程的超結構Fig.1 Superstructure for mathematical formulation with out reusable water storage

1.3 多雜質間歇用水網絡數學模型

基于圖1的超結構，建立的數學模型由兩部分組成：水回用模型和調度模型。優化目標為整個用水網絡中各用水單元使用新鮮水量之和最小，即：

1.3.1 水回用模型

式(1)為用水單元i的進出水量平衡；式(2)為用水單元i的進出水雜質質量平衡；式(3)是用水單元i進口水量濃度計算式；式(4)～式(6)為用水單元濃度和流量約束。

1.3.2 調度模型

該調度模型是針對沒有緩沖儲罐的情形，其中式(7)、式(8)表示若用水單元j的出水能回用給用水單元i，則需滿足用水單元j的出水時刻正好等于用水單元i的進水時刻；式(9)、式(10)則表示了用水單元i的出水回用給用水單元j需要滿足的條件。

2 模型優化求解策略

2.1 基于矩陣編碼的遺傳算法

目前用于間歇過程用水網絡的優化方法多為傳統的數學規劃法，智能算法主要針對連續用水網絡，無法對時間進行約束，本文提出采用矩陣的形式進行編碼，可較為清晰地表示用水單元間的回用關系，矩陣是在時間條件約束下生成的，滿足了調度模型。在遺傳算法的交叉和變異規則的設計時，同樣需要在調度模型下進行，以滿足時間約束。

2.1.1 適應度函數 在已知用水單元間回用關系后，對數學模型(1)～(6)進行求解，采用信賴域序列二次規劃法（TRSQP）[17-18]對該非線性規劃模型進行求解，以新鮮水用量為目標函數，在該回用關系下求得的新鮮水用量即為該個體的適應度值。

2.1.2 種群初始化 數學模型中的0-1 變量實際上是用來表示兩個用水單元間回用是否發生，以yr作為基因，對于有N個用水單元的用水網絡，用N×N的矩陣作為一個基因，矩陣中的第i行第j列的元素yr(i,j)表示用水單元i到用水單元j的回用是否發生，若為0 則表示用水單元i到單元j回用不發生，若為1 則表示回用發生。

2.1.3 選擇操作 選擇操作主要是為了保留好的個體，淘汰不好的個體，同時保持種群的多樣性，故采用錦標賽選擇結合精英策略的方法。通過精英策略可以將適應度值最好的基因直接保留到下一代，對于其余個體采用錦標賽選擇方法，即在種群中選擇一定數量的個體，將其中適應度最好的保留到下一代，反復執行直到下一代個體數量達到種群規模。

2.1.4 矩陣編碼的交叉操作 遺傳算法的交叉操作，考慮到矩陣所代表的實際意義，把yr(i,j)和yr(j,i)兩個元素作為一組，進行交叉操作時，對兩個矩陣相同的位置的一組元素同時進行交換，完成交叉操作，這樣形成的新的矩陣同樣滿足時間約束。

2.1.5 矩陣編碼的變異操作 變異操作主要是為了防止結果早熟，同時考慮到矩陣所代表的實際意義來進行設計的。因為要滿足調度約束，將矩陣中的yr(i,j)和yr(j,i)兩個元素作為一組，改變其中一個元素的值，另一個元素的值在滿足約束的同時隨之發生變化，如：若該組元素值均為0，則其中一個變異為1，若該組元素值為1 和0，則變異為0 和1或者0 和0，其他位置不發生改變，這樣既滿足了種群的多樣性，也使矩陣沒有失去實際的意義，滿足了時間約束。

2.2 求解策略

本文采用混合智能算法求解，基本思想：采用遺傳算法分離出模型中的0-1 變量，數學模型由MINLP（混合整數非線性規劃）模型變為NLP（非線性規劃）模型，對于NLP 模型采用信賴域序列二次規劃法進行求解，從而得到各個基因的適應度值。

圖2 遺傳算法的流程圖Fig.2 Calculation scheme of genetic algorithm

2.2.1 直接回用間歇用水網絡 在直接回用的用水網絡中，沒有儲罐，只有用水單元間的回用，在這種類型的用水網絡中，在種群初始化時用水單元間必須滿足調度模型的約束。

具體求解過程如下。

（1）在調度模型的約束下隨機產生一組滿足條件的矩陣，在滿足用水單元調度的基礎上確定了整個用水網絡的水回用情況，同時把MINLP 模型轉化為NLP 模型。

（2）采用TRSQP 法對NLP 模型進行求解，得到每一個基因對應的適應度值。

（3）依據適應度值，采用錦標賽結合精英策略的選擇方法對隨機產生的種群進行選擇，獲得第一代種群。

（4）對種群中的個體進行交叉和變異操作，得到第二代種群，同時與第一代種群比較，保留最優個體。

（5）重復步驟（2）～步驟（4），直到完成規定進化代數，結束進化。

（6）由遺傳算法得到的最佳基因即為用水單元回用關系，再由TRSQP 法得到各單元間回用的水量，即得到用水網絡。

2.2.2 間接回用間歇用水網絡 在間歇過程中，可以使用儲罐來跨越時間約束。對此種類型用水網絡，在種群初始化時生成的矩陣不必嚴格滿足調度約束，由于用水單元不可以自己向自己回用水，同時由于濃度限值，兩用水單元不可同時向對方進行回用，即需滿足yr(i,i)=0和yr(i,j) ×yr(j,i)=0兩個約束條件。

具體求解過程如下：

（1）隨機生成滿足上述兩個約束的矩陣，完成種群初始化。

（2）～（5）與直接回用過程的求解過程相同。

（6）用步驟（5）得出的回用關系建立一個初步的用水網絡，在此用水網絡中，對于不滿足時間約束的用水單元間的回用，通過添加儲罐來跨越時間約束，從而得到儲罐個數，再根據通過TRSQP算得的用水單元間的回用水量來確定儲罐的體積，進一步獲得滿足條件的用水網絡圖。

（7）根據經驗規則[7]來簡化合并上一步中得到的用水網絡中的管路和儲罐，得到最終的用水網絡。

3 實例求解

實例1 取自文獻[3]，為2 雜質5 過程的固定生產計劃的間歇過程，其用水數據如表1所示。

由圖3可知，該實例需要設置一個固定緩沖儲罐，位于用水單元1 后，其最小容量為70 t，由基于固定緩沖儲罐的優化結果可得出，其最小新鮮水用量為131.43 t，且無需進行循環周期優化，比文獻[3]中循環周期節水24.81 t。圖4為不設置儲罐的優化結果，此時新鮮水量最小為157.91 t。

表1 實例1 中各用水過程的數據Table 1 Data of processes for case No.1

圖3 實例1 基于固定緩沖儲罐優化結果Fig.3 Optimal network with storages of case No.1

圖4 實例1 無儲罐優化結果Fig.4 Optimal network without storages of case No.1

實例2 取自文獻[19-21]，為2 雜質4 過程的固定生產計劃的間歇過程。其用水數據如表2所示。

由圖5可知，該實例需要設置2 個固定緩沖儲罐，分別位于用水單2 和3 后，其最小容量分別為70 t 和78.62 t，由基于固定緩沖儲罐的優化結果可得出，該實例的最小新鮮水用量為142.93 t，本研究比文獻[19-20]中最小新鮮水用量143.10 t 略小，比文獻[21]中最小新鮮水用量144.00 t 也略小。最終用水網絡結果中有14 條流股，比文獻[19-20]少一條，與文獻[21]相同。圖6為無儲罐情況下的優化結果，最小新鮮水用量為201.67 t。

表2 實例2 用水過程數據Table 2 Data of processes for case No.2

圖5 實例2 基于固定緩沖儲罐優化結果Fig.5 Optimal network with storages of case No.2

圖6 實例2 無儲罐優化結果Fig.6 Optimal network without storages of case No.2

4 結 論

本文提出了對多雜質間歇用水網絡進行優化設計的基于矩陣編碼的遺傳算法。針對現有方法對MINLP 模型求解的局限性，該法先使用遺傳算法來優化整數變量，同時采用矩陣編碼的形式，使水回用關系清晰明了，實現了對用水單元間水回用關系的約束，再采用TRSQP 法來優化連續變量，得到用水單元間回用水量，兩種方法的結合，實現了用水網絡中時間約束和用水量最小的同步優化。通過對2 個經典實例的求解，均得到了較優的結果，驗證了本方法對求解多雜質間歇用水網絡優化的有 效性。

符 號 說 明

Cs,in(i)——第i個用水單元進口水流中第s種雜質的濃度，mg·kg-1

——第i個用水單元進口水流中第s種雜質允許的最大濃度，mg·kg-1

Cs,out(i)——第i個用水單元出口水流中第s種雜質的濃度，mg·kg-1

——第i個用水單元出口水流中第s種雜質允許的最大濃度，mg·kg-1

Fe(i)——第i個用水單元排出的廢水水量，t

Ff(i)——第i個用水單元使用的新鮮水量，t

Fin(i)——第i個用水單元進口處水量，t

——第i個用水單元進口處允許的最大水量，t

Fr(i,j)——第i個用水單元向第j個用水單元回用水量，t

H——用水網絡的一個周期時間，h

tin(i)——第i個用水單元進水時間，h

tout(i)——第i個用水單元出水時間，h

yr(i,j)——第i個用水單元的水是否向第j個用水單元進行回用

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