液滴碰撞球形凹曲面復合level set-VOF法的數值分析

鄭志偉，李大樹，仇性啟，朱曉麗，崔運靜

（1 中國石油大學（華東）化學工程學院，山東 青島 266555；2 中國石油大學（華東）機電工程學院，山東 青島 266555）

引 言

液滴沖擊壁面現象廣泛存在于工業技術領域中，如噴霧冷卻、噴霧干燥、旋風分離、噴霧燃燒等[1-3]。液滴撞壁是非線性、強瞬變過程，影響因素眾多（如碰撞速度、液滴直徑、壁面接觸角等），而且各參數之間相互影響[4-5]，其中壁面結構，如水平壁面、傾斜壁面、與液滴直徑同尺度的曲面等，對液滴的鋪展、回縮、回彈有重要的影響。

近年來，研究者針對液滴撞壁現象進行了大量研究[1,6-10]。Rioboo 等[7]實驗觀測了液滴碰撞過程中瞬時飛濺、皇冠飛濺、回縮破碎及局部回彈等形態變化，Mao 等[8]實驗研究了不同液滴碰撞不銹鋼平面的鋪展和回彈特性。實驗研究集中在液滴撞壁形態變化及動力學行為（自由表面流動，氣液固三相接觸線運動）的觀測上，難以揭示撞壁過程中液滴微細流動和破碎機理。數值模擬方面，Tabbara 等[9]采用流體體積（volume of fluid，VOF)法數值研究了不同碰撞速度的液滴沖擊平面的鋪展特性，高珊等[10]采用VOF 方法研究了液滴沖擊壁面的流動和傳熱特性。上述文獻雖對液滴撞壁過程進行了大量的研究，但對撞壁過程中液滴微細流動和破碎機理的揭示仍有不足?，F有液滴撞壁的研究多集中在液滴沖擊水平壁面，碰撞與液滴直徑同尺度的曲面較為缺乏，而液滴曲面撞壁和液滴平面撞壁存在很大的不同。因此，本工作針對液滴碰撞球形凹曲面，采用復合水平集法（level-set）和VOF 法（couple level-set and volume of fluid，CLSVOF)[11-12]建立歐拉固定網格體系下的計算模型，對比CLSVOF 模型和VOF 模型計算精度，揭示液滴內部微細流動傳熱和破碎機理，開展液滴碰撞特性（鋪展系數、鋪展速度、射流長度和射流速度）的碰撞速度效應數值研究，并基于此對比分析現有液滴平面撞壁最大鋪展系數理論解析模型，探索現有模型不足，提出液滴凹曲面撞壁最大鋪展系數解析模型的發展 方向。

1 數值計算方法

1.1 數值計算模型

數值計算模型中液滴初始直徑為D0=2 mm，以一定碰撞速度U0垂直沖擊曲率為κ=0.2 mm-1的凹面，靜態接觸角θ=140°，如圖1所示。其中，受實驗條件限制，壁面靜態接觸角為實驗測量平壁上平衡接觸角，液滴和基板的溫度與環境溫度相同，都為300 K，環境壓力為101.3 kPa（1 atm），計算所 需參數見表1。

圖1 液滴凹面撞壁示意圖及邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

考慮到液滴撞壁過程具有強瞬態變化的復雜拓撲結構，相界面的精確追蹤是研究液滴撞壁現象的前提。目前應用最為廣泛的相界面追蹤技術主要是流體體積法（VOF）[13]和水平集法（level-set）[14]。VOF 法通過求解計算單元內相體積分數追蹤相界面。該方法能夠保證相界面處物理量守恒，但由于控制函數的不連續性，相界面計算精度與level-set法相比較低。level-set 法通過將相界面定義為水平集函數的零水平集并進行求解得到相界面。由于水平集函數是平滑連續的函數，相界面空間梯度能夠精確計算，但該方法已被證明在計算過程中物理量不守恒[15]。為滿足液滴撞壁過程中相界面空間梯度的精確求解和計算過程中物理量守恒，本工作采用CLSVOF 法建立液滴撞壁模型。

計算模型對控制方程進行求解，并做如下假設：氣液界面無相變發生；碰撞過程一直處于層流狀態。

在CLSVOF 模型中，連續性方程和N-S 方程分別為

式中，v是速度矢量，p是壓力，μ(φ)是計算單元內動力黏度，ρ(φ)是計算單元內密度，F是表面張力源項。

表面張力采用Brackbill 等[16]提出的連續表面力（CSF）模型求解，F可表示為

式中，κ是曲率，σ是表面張力系數，H是Heaviside 函數。

表1 計算參數Table 1 Calculation parameters

當液滴在壁面運動時，定義接觸角為θ。nw和tw分別為單位法向向量和單位壁面切向量，則壁面的法向方向為

1.2 求解方法

計算采用二維軸對稱模型，并采用網格加密技術對壁面附近區域進行加密，以提高計算精度。對網格進行無關性檢驗，分別采用每毫米20 個、30個、40 個網格的不同劃分方式對計算區域進行劃分，即網格尺寸分別是0.05、0.033、0.025 mm。結果表明，采用0.033 mm 和0.025 mm 的網格液滴撞壁后鋪展因子隨時間的變化曲線幾乎完全重合，而0.05 mm 的網格與兩者存在一定的差距。因此，本工作采用0.033 mm 的網格，既可保證計算精度，又可節省計算時間和成本，網格總數為180000 個。

采用有限體積法對控制方程進行離散。壓力速度耦合采用SIMPLE 方法；壓力求解采用PRESTO！方法；計算單元液相體積分數采用CICSAM[17]方法離散求解；控制方程采用QUICK 格式進行離散，以減少假擴散，提高精度；時間步長tΔ=10-6s，tΔ內迭代30 次內即可收斂。

2 計算模型驗證

圖2 實驗裝置Fig.2 Experimental system

本工作主要驗證液滴撞壁模型中的相界面追蹤模型、壁面潤濕模型和流動模型。結合現有實驗條件，本工作開展柴油液滴平面撞壁實驗，對模型進行驗證，實驗系統如圖2所示。實驗采用德國Basler 公司A504KC 型數字面陣高速攝像儀對液滴撞壁的運動形態變化進行拍攝，結合圖像處理軟件 和像素分析方法進行數據分析。實驗中，由注射器緩慢流出的液體在針尖處形成液滴，當液滴的重力大于其表面張力時，液滴從針頭剝落。液滴的直徑取決于所選用注射器針頭的直徑，并通過在高速攝像儀拍攝區域放置參照物（已知直徑的剛性小球）進行標定。實驗中，通過調整滑動支架的高度控制液滴的碰撞速度，液滴始終垂直碰撞壁面，本工作驗證實驗中碰撞速度U0=1.49 m·s-1，液滴初始直徑D0=2.378 mm。

將數值結果與實驗數據進行對比，如圖3所示?？梢钥闯?，在液滴撞壁整個鋪展階段數值模擬和實驗觀測的液滴撞壁運動形態較為相似，如圖3(a)所示。圖3(b)將實驗測量鋪展系數f（f=Ds/D，Ds為液滴鋪展直徑）與模型計算所得f表示成量綱1 時間（t?=tU/D）的函數[18]，可以看出數值模擬鋪展系數與實驗觀測鋪展系數呈現出相似的變化。其中，CLSVOF 模型與VOF 模型相比計算結果與實驗觀測值較為接近，說明CLSVOF 模型能夠更好地模擬具有復雜強瞬變相界面拓撲結構的非線性、強瞬態的液滴撞壁過程，因此采用CLSVOF 法研究液滴碰撞特性更為精確可行。此外，現有數字圖像處理技術和相界面追蹤方法的局限性也是實驗觀測值和模擬結果存在偏差的原因。

圖3 實驗和模擬結果對比Fig.3 Comparison of simulation with experiments

3 數值計算結果討論

3.1 液滴的流動

為揭示液滴凹面撞壁微細流動機理，對直徑D0=2 mm、碰撞速度U0=1.2 m·s-1的液滴不同碰撞時刻的壓力、速度及溫度分布進行分析，其中凹面的曲率為0.2 mm-1，如圖4所示。可以看出，液滴在碰撞過程中受慣性力、黏滯力以及表面張力的共同作用，先后呈現出鋪展、收縮及回彈形態。0.14 ms 時，液滴邊緣B處壓力最大（pB=2.42×103Pa），在慣性力的作用下B點獲得了較大的鋪展速度（UB=3.24 m·s-1），大約是碰撞速度U0=1.2 m·s-1的3倍。2.24 ms 時，液滴達到最大鋪展直徑，鋪展邊緣B處液體具有較大的壓力梯度，開始回縮，pB受黏滯力、重力壁面切向分量和沿程阻力的共同作用而顯著降低（pB=1.89×102Pa），UB沿壁面回流向碰撞中心A，UB=0.15 m·s-1。4.46 ms 時，液滴受表面張力和重力壁面切向分量主導，在碰撞中心A處形成回彈射流，A處具有較大的壓力梯度（pA=2.62×102Pa)，從而A處獲得了較大的射流速度（Ujet=0.4 m·s-1）。隨著表面張力和重力壁面切向分量的作用逐漸增大，Ujet逐漸增大至3.2 m·s-1，回彈射流相應逐漸變長。

3.2 液滴飛濺破碎

液滴撞壁后，在較大的慣性力作用下鋪展邊緣容易產生破碎小液滴。本工作從渦量分布的角度揭示液滴邊緣飛濺破碎機理，如圖5所示。從圖5(a)可以看出，0.1 ms 時，液滴三相接觸線附近產生傾斜向上的射流，在射流的頂部區域受表面張力的作用呈球形，該區域具有復雜的表面張力作用。在上述表面張力的作用下射流頸部出現收縮現象，當頸部直徑足夠小時液滴會從射流破碎，向周圍飛濺。上述現象可歸結于Rayleigh 不穩定性的作用[3,5]。1.2 ms 時，在液滴鋪展邊緣存在破碎液滴群。由于破碎液滴群中的液滴受慣性力、黏性力、表面張力以及重力壁面切向分量作用的大小不同，靠近液滴主體的小液滴呈現出向鋪展方向偏移的“傾斜液滴”，遠離液滴主體的液滴則呈現出“半橢圓形液滴”。結合圖5(b)的渦量分布，可以看出液滴鋪展邊緣和靠近液滴主體的小液滴間存在較大的渦量，說明空氣對該區域的剪切作用較大。由于渦量的存在，液滴表面和液滴主體具有不同的壓力，在此壓力梯度的擾動下形成“卡門渦街”，加劇了液滴的破碎。

圖4 液滴撞壁壓力和速度分布Fig.4 Pressure and velocity distributions

圖5 碰撞過程破碎液滴和渦量分布Fig.5 Breakup droplets distribution and vorticity distributions

3.3 碰撞速度效應

由于液滴凹面撞壁受重力壁面切向分量和壁面結構影響，液滴的撞壁特性與平面撞壁相比存在較大的不同。為對比液滴碰撞不同壁面的撞壁特性，對直徑D0=2 mm、碰撞速度U0=1.2 m·s-1的液滴進行平面撞壁模擬。同時，為分析液滴碰撞速度對凹面碰撞特性的影響，選取直徑D0=2 mm，碰撞速度U0=1.2、2.5、3.5 m·s-1的液滴進行模擬。

圖6為不同碰撞速度下液滴鋪展系數f和鋪展邊緣B處鋪展速度Us隨時間的變化。從圖6(a)可以看出，f隨碰撞速度增加而變大，而且液滴碰撞速度越大，液滴達到最大鋪展系數fmax所需時間越短，fmax分別為1.1、1.5 和1.73。從圖6(a)還可以看出，液滴達到最大鋪展系數所需時間幾乎相同，但平面撞壁的鋪展系數為2.3，大于凹面撞壁的1.1，可見凹面撞壁過程中重力壁面切向分量對液滴撞壁特性的影響較大。從圖6(b)可以看出，液滴碰撞速度越大，鋪展速度越大，不同碰撞速度下的液滴鋪展速度的變化呈現出相似的變化規律：液滴的鋪展速度隨時間逐漸減?。灰旱巫畲箐佌顾俣瘸霈F在撞壁初始時刻，Us分別為2.998、6.23 和10.2 m·s-1，大于相對應的液滴碰撞速度U0分別為1.2、2.5 和3.5 m·s-1。這是由于液滴與壁面接觸時液滴的動 量由軸向全部轉換為徑向，因此在撞壁初始時刻液滴具有較大的鋪展速度。碰撞速度較大的液滴具有較大的慣性勢能，其鋪展速度也較大。隨著液滴沿壁面鋪展，受黏滯力、表面張力和重力壁面切向分量的共同作用，慣性力的作用逐漸減小，鋪展速度逐漸減小，當液滴達到最大鋪展直徑時液滴的鋪展速度減小為0。液滴的碰撞速度越大，其鋪展系數越大，鋪展初始階段的鋪展速度越大。從圖6(b)還可以看出，相同直徑和碰撞速度的液滴碰撞平面和凹面，其鋪展速度十分接近。

圖6 不同碰撞速度下液滴鋪展系數和鋪展速度隨時間的變化Fig.6 Spreading factor and velocity change with time at different impact velocities

為研究液滴的回彈特性，圖7為液滴相對回彈射流長度δ（δl/D0，δl是射流長度）和射流速度Ujet隨時間的發展。其中，液滴的相對回彈射流長度為液滴碰撞中心A處液膜的厚度，射流速度為液滴射流前端最大速度。圖7中的射流長度和射流速度從液滴達到最大鋪展系數時刻開始選取?？梢钥闯?，液滴碰撞速度越大，回彈射流發展越充分，回彈射流越長，在中心射流離開壁面前最大射流長度分別為4.36、7.27、8.5 mm；液滴的回彈射流速度隨碰撞速度增加而增大，分別為3.6、4.95、5.275 m·s-1，大于其對應時刻的碰撞速度U0分別為1.2、2.5 和3.5 m·s-1。不同碰撞速度下的δ和Ujet呈現出相似 的變化規律：液滴到達最大鋪展直徑后，液滴鋪展外緣處的液體受表面張力和重力壁面的主導開始回縮，但碰撞中心處液體受慣性力主導繼續鋪展，因此，在液滴沿壁面回縮初始階段可見碰撞中心處的液膜速度垂直向下，液膜厚度逐漸減小為0；之后，由于表面張力和重力壁面切向分量的作用隨邊緣液體的回縮逐漸增大，碰撞中心處的液體逐漸回彈，射流速度垂直向上迅速增大，形成射流。此外，圖7通過對比相同直徑以及相同碰撞速度的液滴碰撞平面和凹面可知，液滴平面撞壁的回彈射流出現時間滯后于凹面撞壁，而且回彈射流速度大于凹面撞壁，再次證明了重力壁面切向分量對液滴凹面撞壁特性的影響較大。

圖7 不同碰撞速度下液滴射流長度和射流速度隨時間的變化Fig.7 Jet and velocity change with time at different impact velocities

圖8是液滴的最大鋪展系數fmax隨Reynolds 數Re的變化。可以看出，液滴的Re越大，其fmax越大。需要指出，液滴的fmax在較小的Re下增幅較大，當Re取值約為2100 時fmax增幅明顯減小。將fmax擬合成Re的函數可得

圖8 最大鋪展系數隨Re 的變化Fig.8 Maximum spreading factor changes with Re

為分析液滴鋪展速度Us、射流長度δ和射流速度Ujet與Reynolds 數的關系，得到不同Re下液滴相對最大鋪展速度（U′s/U′0，U′s為最大鋪展速度）、相對最大射流長度（δ′/D0，δ′為最大鋪展速度）和相對最大射流速度（U′jet/U′0，U′jet為最大射流速度)的變化規律，如圖9所示。可以看出，液滴的相對最大鋪展速度隨Re的增加而增大，液滴的相對最大射流速度隨Re的增加而減小。當液滴的Re取值約為2100 時，液滴的相對最大鋪展速度和相對最大射流速度逐漸趨于穩定，與液滴Reynolds 數的相關性逐漸減小，碰撞速度效應逐漸減小。將液滴的相對最大鋪展速度和相對最大射流速度擬合成Re的函數可得

從圖9還可以看出，液滴相對最大射流長度隨Reynolds 數增加而增加，當Re取值約為2100 時增幅明顯減小。這說明，隨著液滴Reynolds 數的不斷增加，液滴相對最大射流長度與液滴Reynolds 數相關性逐漸減小，液滴碰撞特性碰撞速度效應逐漸減小。將相對最大射流長度擬合成Re的函數可得

圖9 量綱1 速度和相對射流長度隨Re 的變化Fig.9 Dimensionless velocity and relative jet velocity change with Re

液滴的鋪展系數和鋪展速度與Reynolds 數的相關性隨Re的增加逐漸減小。分析認為，這是由于，Reynolds 數越大，液滴的慣性勢能的作用越明顯，較大的慣性勢能一部分轉化成克服黏性耗散的鋪展勢能，另一部分轉化成克服表面張力做功的飛濺勢能。當Reynolds 數足夠大時，由于液滴撞壁過程中黏性耗散隨Reynolds 數的變化不大，液滴所具有的鋪展勢能也較為接近，液滴的鋪展系數和鋪展速度與Reynolds 數的相關性明顯減小。而液滴的射流長度和射流速度與Reynolds 數的相關性隨Re的增加逐漸減小。分析認為，這是由于，液滴的收縮勢能與沖擊動能有關，當Reynolds 數較小時，液滴的收縮勢能隨Reynolds 數的增加逐漸增大，因此射流長度和射流速度與Reynolds 數的相關性較大。而液滴的收縮勢能還與液滴鋪展勢能和表面張力做功密切相關，當Reynolds 數足夠大時，液滴的鋪展勢能和表面張力做功的能力幾乎不變，因此液滴的射流長度和射流速度與Reynolds 數的相關性明顯減小。

液滴碰撞固體壁面的最大鋪展系數是液滴撞壁過程中的重要特性參數，而現有理論解析模型多針對液滴的平面撞壁[18-20]。本工作通過將現有液滴平面撞壁最大鋪展系數理論解析模型與數值模型對比，提出液滴凹曲面撞壁最大鋪展系數解析模型發展方向。根據研究方法的不同，液滴最大鋪展系數理論解析模型可以分為兩大類：流體力學法和質量守恒法。由于流體力學法在推導過程中做出大量假設，基于能量守恒方程建立液滴最大鋪展系數理論解析模型更為準確。

液滴碰撞過程能量主要包括液滴碰撞前動量E1、碰撞前表面能ES1、碰撞后表面能ES2、黏性耗散能W，即

其中

式中，Dmax是液滴最大鋪展直徑，θs是平衡接觸角，tc是液滴達到最大鋪展直徑所需時間。

Pasandideh-Fard 等[18]、Ukiwe 等[19]根據質量守恒定律，采用不同的能量耗散方程分別建立了液滴平面撞壁最大鋪展系數解析模型。圖8將不同Reynolds 數下數值模擬液滴最大鋪展系數與上述解析模型進行對比，可以看出Pasandideh-Fard 等、Ukiwe 等所建立的模型解析解略高于數值模擬結果，這是由于文獻中解析模型假設液滴以圓柱形態進行鋪展，這與凹面撞壁液滴形態變化相差較大。當液滴的Re較小時，數值模擬結果與文獻中解析模型計算值較為接近，這是由于碰撞速度較小的液滴鋪展系數較小，沉積液膜厚度較大，液滴鋪展形態接近于圓柱形。而當液滴的Re較大時，由于碰撞速度較大的液滴具有較大的鋪展直徑和較小的沉積液膜厚度，液滴鋪展形態近似呈貼壁碗狀，數值模擬結果與文獻中解析模型計算值相差較大。此外，文獻[3]分析認為理論解析值與數值計算結果略有偏差主要還有兩個原因：解析模型求解黏性耗散能沒有考慮熱量傳遞對流動邊界層厚度的影響，模型流動邊界層厚度取流動滯止條件下邊界層厚度；碰撞基板為表面固體結構分數很小的疏油不銹鋼板，因此結構表面的黏性耗散可以忽略，但結構表面內侵入流體的黏性耗散則需要考慮。由此可見，液滴沉積形態的精確近似、流動邊界層的精確選取以及結構表面內黏性耗散的精確計算是液滴凹面撞壁最大鋪展直徑理論解析模型發展的一個方向。

4 結 論

采用CLSVOF 方法建立了數值計算模型，以探索液滴撞壁機理及特性。本工作揭示了液滴撞壁流動和破碎機理，獲得了碰撞速度對液滴的鋪展系數、鋪展速度、回彈射流長度和射流速度的影響規律，并提出了液滴最大鋪展系數理論解析模型的發展方向，具體結論如下。

（1）CLSVOF 方法與VOF 方法相比，能夠更好地預測具有復雜相界面拓撲結構變化的非線性、強瞬態的液滴撞壁過程。

（2）受慣性力、黏滯力、表面張力和重力壁面切向分量以及凹面結構的共同作用，液滴碰撞凹面過程先后呈現出鋪展、收縮、振動及回彈狀態；液滴破碎是由于Rayleigh 不穩定性作用；空氣流經破碎液滴產生“卡門渦街”現象，從而加劇了液滴破碎。

（3）液滴的撞壁特性與液滴碰撞速度密切相關。液滴凹曲面撞壁與平面撞壁相比，鋪展系數較小，回彈射流出現的時間超前，回彈射流速度較大。液滴凹面撞壁是否回彈與碰撞速度不相關（23.9＜We＜1320）；液滴的最大鋪展系數和相對最大鋪展速度與Reynolds 數近似冪遞增，液滴的相對最大射流長度與Reynolds 數近似對數遞增，液滴的相對最大射流速度與 Reynolds 數近似冪遞減，但當Reynolds 數取值約為2100 時碰撞速度效應逐漸 減小。

符 號 說 明

D——液滴直徑，mm

E1，ES1，ES2——分別為碰撞前動量、碰撞前表面能、碰撞后表面能，J

F——表面張力源項

f——鋪展系數

H——Heaviside 函數

nw——單位法向向量

P——壓力，Pa

tw——單位壁面切向量

U——速度，m·s-1

W——黏性耗散能，J

δ——相對回彈射流長度

θ——接觸角，（°）

κ——曲率

μ——黏度，Pa·s

v——速度矢量

ρ——密度，kg·m-3

σ——表面張力系數，N·m-1

下角標

jet——射流

s——鋪展狀態

0——初始狀態

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