一類混合隔振系統非線性動力特性分析

宋秉明，呂志強，帥長庚

（1.海軍工程大學　振動與噪聲研究所，武漢430033；2.海軍工程大學　船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

一類混合隔振系統非線性動力特性分析

宋秉明1，2，呂志強1，2，帥長庚1，2

（1.海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢430033；2.海軍工程大學船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

研究磁懸浮—氣囊主被動混合隔振系統的非線性動力特性，包括對系統的穩定性分析和位移響應的計算及其模擬仿真。通過對磁懸浮—氣囊主被動混合隔振裝置的簡化，建立與之相適應的非線性動力微分方程；利用諧波平衡法對非線性微分方程進行求解，研究系統方程的幅頻響應曲線在不同參數下的變化規律；由Lyapunov穩定性定理對系統進行穩定性判斷；通過Simulink軟件對整個系統進行模擬仿真得出位移的功率譜曲線，分析結果表明混合隔振系統在低頻激勵下的穩定性更好，隔振效果明顯。

振動與波；混合隔振；非線性動力特性；磁懸浮作動器；空氣彈簧

隨著隔振技術的不斷創新和改善，磁懸浮隔振裝置越來越受到國內外學者和專家的青睞，對此的研究和分析也很多［1-4］。磁懸浮作動器具有固有的非線性特性，對磁懸浮—氣囊主被動混合隔振器的研究是將非線性微分方程化為線性或者近似線性來求解振動響應，而忽略了位移非線性項［5］，導致計算所得的位移響應值精度有限，這也影響后續的分析結果。對于磁懸浮作動器，即便是微小的位移變化，所帶來的影響也不容忽視，對于隔振系統非線性現象的研究內容和方法很多［6-8］。本文采用諧波平衡法，對磁懸浮—氣囊主被動混合隔振系統在不同參數下的非線性動力特性進行研究，對位移非線性給系統帶來的影響進行深入分析。

1　建立運動微分方程

磁懸浮—氣囊主被動混合隔振器是將無接觸的、等效剛度低的磁懸浮作動器集成到氣囊隔振器內部，利用氣囊隔離寬頻振動，同時控制作動器消除低頻線譜振動的主、被動一體化的混合隔振裝置［9］。基本結構簡圖如圖1所示，主要由氣囊、永磁鐵、鐵芯、線圈和銜鐵等構成。

圖1　磁懸浮—氣囊混合隔振系統實體簡圖

對混合隔振系統進行數學建模，將氣囊簡化為一個包含線性剛度和線性阻尼的被動隔振部件，主動控制部分簡化為磁鐵的交變磁懸浮力，得到如圖2所示的力學模型。其中m是隔振對象的質量；k1和c1分別是氣囊的等效剛度和阻尼；x是隔振對象的位移；fd是外部激勵力；Fg是作動器提供的主動交變磁懸浮力，同時作用在隔振對象和基礎上。此處假設基礎為剛性的。

圖2　磁懸浮—氣囊混合隔振系統力學模型

由以上力學模型，結合振動理論分析可知混合隔振系統的運動微分方程為

mx¨（t）+c1x˙（t）+k1x（t）=fd（t）-Fg（t）（1）式中，Fg（t）為交變磁懸浮力，參考何琳［9］和謝強［5］研究分析時采用的交變電磁力模型，可得交變磁懸浮力的表達式為

在平衡點（I0，X0）處對Fg（t）進行泰勒級數展開，整理得式中，第一個括號內的表達式為磁懸浮作動器的可控輸出力，記作fa（t）。其中電流平方項i2對系統的影響在文獻中已有研究分析，并采用補償控制對其進行消除［5］。同時，本文主要分析研究位移非線性對系統的影響，故此處忽略電流平方項；又由計算可知電流立方項i3的系數為零，則

第二個括號內的表達式為磁懸浮作動器的等效位移剛度，記作ka。此處只考慮偏置電流I0對等效剛度ka的影響，忽略交變電流i的影響，則

G（x）為系統的位移非線性項，由于振動過程中位移為小量，為簡化計算量，略去三階以上的高階項，此處只考慮平方、立方項，則

將式（4）、（5）、（6）代入式（1），兩邊同時除以質量m得最終簡化的微分方程

其中

磁懸浮主被動混合隔振系統采用的是有源振動控制，在控制系統中引入次級振源，通過測量主振源的振動信號，再采用適當的控制算法，使得次級振源與主振源的大小相等，方向相反，從而達到隔振的目的。由此，易知對于單頻激勵力fd（t），要達到隔振的目的，主動控制力fa（t）的頻率必然與激勵力fd（t）的頻率相同。為了便于后續的分析，對f（t）作進一步簡化得式中，F為激勵力與主動控制力之差的幅值，ω為激勵頻率。

2　系統的穩定性分析

設x（t）=x1，則由（7）式可知系統的非線性狀態方程如下

寫成矩陣形式為

設X=Ax+B，求解矩陣A的特征值，則有

解得

由Lyapunov穩定性定理［10］可知，當λ1、λ2為一對實部為負的共軛復根時，奇點即為焦點，系統具有漸進穩定性。由此可知，磁懸浮混合隔振系統具有良好的穩定性。

3　方程求解

采用諧波平衡法［10］對非線性微分方程（7）求解，設x（t）為周期解，用Fourier級數展開，得到如下通解形式

此處A0=0，忽略高次諧波項，設非線性方程（7）的近似解為

由式（11）易得x˙（t）、x¨（t）的表達式，又可知

將x（t）、x˙（t）、x¨（t）、x2（t）及x3（t）的表達式代入（7）式中，整理得

設

求解式（17）中的方程組，從而求得Z和φ，即可得方程的近似解。

4　數值計算與仿真分析

利用Matlab中的ezplot函數對方程（16）進行繪圖，可得主被動混合隔振系統的幅頻響應隨不同參數變化的規律曲線。為了便于觀察其變化規律，此處將模型參數設為m=1 kg，ωn=1rad/s，分析結果如圖3、圖4、圖5所示，分別表示不同β、μ、F值下的幅頻響應曲線，縱坐標表示幅值，橫坐標頻率比表示的是激勵頻率與固有頻率的比值

圖3　不同β值下的幅頻響應曲線（其中μ=0.1，F=0.5）

由圖3可知，當β＞0時，隨著非線性項系數β的增大，幅值的峰值隨之減小，并且向右側偏移的傾角變大。由圖4易知，隨著阻尼項系數μ的增大，幅值的峰值隨之減小，但對幅值的偏向程度沒有影響，并且當達到一定值時，跳躍現象消失，使得隔振區間增大、隔振效果加強。由圖5可知，幅值隨著F的增大而增大，并且有效隔振區間隨之減小，但對于整個頻段的收斂效果也變差，使得隔振效果不理想。

根據系統的運動微分方程（7），運用Matlab/ Simulink軟件對磁懸浮—氣囊隔振系統模型進行仿真分析，仿真計算過程主要是利用軟件內部的ode 45算法對系統的運動微分方程進行數值求解。對于被動隔振的仿真分析，則將主動控制力中的交變電流值設為零。

圖4　不同μ值下的幅頻響應曲線（其中F=0.5，β=1）

圖5　不同F值下的幅頻響應曲線（其中μ=0.1，β=1）

通過改變仿真模型中激勵頻率ω的值（10 π～100 π），使模型分別在被動隔振和主動隔振的狀態下進行仿真分析。對于位移的幅值，按照的方法轉換為dB的形式觀察功率譜變化規律，其中參考值Zs=1 pm。圖6所示的是在激勵頻率為40 π時的單邊功率譜曲線，系統由靜止狀態被激勵，時間T持續10 s。

由被動隔振的功率譜曲線可知，系統在前5 s的幅值峰值點有兩個，分別為系統固有頻率處和激勵頻率處，而后5 s的曲線中固有頻率處的峰值則削弱了，這主要是由于位移響應解中的瞬態解引起的，在阻尼c1大于0的情況下，當時間足夠大時可以將這部分解忽略不計，只考慮穩態解；對于主動隔振系統，由圖6可知不存在這一情況，充分表明主動控制對系統固有頻率處振動控制的實時性和有效性。比較5 s～10 s的被動隔振與主動隔振的功率譜曲線可知，在激勵頻率20 Hz處，主動隔振比被動隔振小37.5 dB，表明主動隔振的效果明顯。但是在40 Hz、60 Hz等激勵頻率的倍頻處產生多個峰值，產生額外的能量，這主要是由于主動控制中位移非線性項所導致的。

表1所示的是激勵頻率ω在10 π～100 π區間內隔振系統在激勵頻率處的功率譜峰值的仿真數據表。

圖6　不同隔振狀態下的功率譜曲線

表1　不同激勵頻率下被動隔振和主動隔振在激勵頻率處功率譜的峰值

由表中數據可知，被動隔振系統在激勵頻率處的隔振效果隨著激勵頻率的增大越來越好，這也證實了氣囊隔振對高頻激勵有良好的隔振性能；主動隔振系統在激勵頻率處的隔振效果隨激勵頻率變化不大，維持在133 dB左右，這表現出主動隔振的穩定性和可靠性，但相比被動隔振有良好的隔振效果，通過將主動隔振的值減去被動隔振的值可以得到證實。此外，主動控制在高頻處的隔振效果在逐漸減小。

5　結語

基于氣囊—磁懸浮主被動混合隔振系統，對其非線性動力特性進行研究分析，結論如下：

（1）運用Lyapunov穩定性定理對混合隔振系統的穩定性進行判斷，并結合仿真分析的結果可知磁懸浮混合隔振系統具有良好的穩定性；

（2）運用諧波平衡法對建立的運動微分方程進行解析，得到不同參數下非線性微分方程的頻響曲線及其變化規律；

（3）運用Simulink軟件對系統模型進行仿真分析，得到不同時間范圍不同隔振狀態下系統的功率譜圖，可知主動隔振在低頻處的隔振效果明顯優于被動隔振，但位移非線性項的影響會使得主動隔振在倍頻處產生附加能量。

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Nonlinear Dynamic CharacteristicsAnalysis of a Passive-active Hybrid Vibration Isolation System

SONG Bing-ming1，2，LV Zhi-qiang1，2，SHUAI Chang-geng1，2
（1.Institute of Noise and Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The nonlinear dynamic characteristics of a passive-active hybrid vibration isolator system using electromagnetic actuator and air spring were studied.The study contained stability analysis，computation and simulation of displacement responses.The nonlinear dynamic differential equation was established by simplifying the passive-active hybrid vibration isolation.The solution of nonlinear differential equation was obtained by using harmonic balance method. The amplitude-frequency response curves of the system equation with different parameters were studied.Stability of the system was judged by Lyapunov stability theorem.The power spectrum curves of displacement were obtained by simulation of the system with Simulink.It is shown that the stability and the vibration isolation efficiency of the system with active control is good.

vibration and wave；hybrid vibration isolation；nonlinear dynamic characteristics；electromagnetic actuator；air spring

O322文獻識別碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.037

1006-1355（2015）05-0176-04+184

2015－03－09

宋秉明（1992－），男，江西省奉新人，碩士生，主要研究方向：振動與噪聲控制。

呂志強，男，碩士生導師。

E-mail:whhg_sl@126.com