探討指、對數圖象交點問題

葉濤

高中教材沒有探討函數[y=ax與y=logax]圖象的交點問題，僅僅只是在同一坐標系中畫了函數[y=12x與y=log12x]以及[y=2x與y=log2x]的圖象. 這張圖讓很多同學都誤以為：函數[y=ax（01）與y=logax（a>1）]的圖象無交點. 這種認識是錯誤的.

比如，函數[y=116x與y=log116x]有三個公共交點，其中有兩個公共交點[N112，14，N214，12]關于直線[y=x]對稱，還有一個交點落在直線[y=x]上.另外對于函數[y=1.1x]來說，由于其圖象上的一點[2，1.21]在直線[y=x]的下方，因而它的圖象與直線[y=x]相交且有兩個交點，即：函數[y=1.1x與y=log1.1x]的圖象有兩個落在直線[y=x]上的交點. 由于函數[y=ax與][y=logax（a>0][且a≠1）]互為反函數，其圖象關于直線[y=x]對稱，可以通過討論函數[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點個數確定函數[y=ax與y=logax]圖象交點的個數.

我們可以通過幾何畫板繪制出函數[y=ax（a>1）]的圖象，不難發現當底數[a]較大時與直線[y=x]無交點；當底數[a]較小，非常接近1[a>1]時有兩個交點；當[01）]的圖象與直線[y=x]的交點情形.

如下圖在指數函數[y=ax（a>1）]的圖象上，先求斜率為1的切線與[y=ax（a>1）]相切的切點[P]的坐標，根據切點[P]與直線[y=x]的相對位置確定函數[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點情形，亦即：令[y=axlna=1]得，[x=-loga（lna）.]

切點坐標[P-loga（lna），1lna]，若點[P]在直線[y=x]上即[-loga（lna）=1lna得，a=e1e].

（1）當[a=e1e]時，函數[y=ax]的圖象與直線[y=x]相切于點[P（e，e）.]

（2）當[a>e1e]時，[lna>1e， ∴0<1lna

則有[loga1lna

此時切點[P-loga（lna），1lna]在直線[y=x]的上方，也即[y=ax（a>e1e）]的圖象恒在直線[y=x]的上方，函數[y=ax]的圖象與直線[y=x]無交點.

（3）當[1e]，

則有[loga1lna>logae]，[∴-logalna>1lna].

此時切點[P-loga（lna），1lna]在直線[y=x]的下方，也即[y=ax（1

由上述分析不難得到以下定理.

定理1 對于指數函數[y=ax（a>1）]的圖象，當[a=e1e]時，其與直線[y=x]相切于點[P（e，e）]；當[a>e1e]時，它恒在直線[y=x]的上方；當[1

由于函數[y=ax與y=logax（a>0且a≠1）]互為反函數，其圖象關于直線[y=x]對稱，因此有以下結論.

定理2 對于對數函數[y=logax（a>1）]的圖象，當[a=e1e]時，其與直線[y=x]相切于點[P（e，e）]；……