含參不等式恒成立問題

劉海霞

判別式法

若所求問題可轉化為二次不等式，則可聯想到二次函數圖象結合判別式解題.一般地，對于二次函數[f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）]，則有：（1）[f（x）>0]對[x∈R]恒成立[?a>0，Δ<0；]（2）[f（x）<0]對[x∈R]恒成立[?a<0，Δ<0.]

例1 已知函數[y=lg[x2+（a-1）x+a2]]的定義域為[R]，求實數[a]的取值范圍.

解析 由題設可將問題轉化為[x2+（a-1）x+a2>0]對[x∈R]恒成立，

即有[Δ=（a-1）2-4a2<0]，解得[a<-1或a>13].

所以實數[a]的取值范圍為[（-∞，-1）?（13，+∞）].

函數與方程法

不等式、函數、方程三者密不可分，相互聯系，相互轉化. 求參數的取值范圍問題，函數與方程思想是解決這類問題的重要方法.

例2 設[f（x）=x2-2mx+2]，當[x∈[-1，+∞）]時，[f（x）≥m]恒成立，求實數[m]的取值范圍.

解析 設[F（x）=x2-2mx+2-m]，

則當[x∈[-1，+∞）]時，[F（x）≥0]恒成立.

（1）[Δ=4（m-1）（m+2）<0， 即-20]顯然成立.

（2）[Δ≥0]時，如圖，[F（x）≥0]恒成立的充要條件為：

[Δ≥0，F（-1）≥0，--2m2≤-1，]解得[-3≤m≤-2].

綜上，實數[m]的取值范圍為[[-3，1）].

最值法

將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題的一種處理方法，其一般類型有：（1）[f（x）>a]恒成立[?af（x）max].

例3 已知[f（x）=7x2-28x-a，g（x）=2x3+4x2-40x]，當[x∈[-3，3]]時，[f（x）≤g（x）]恒成立，求實數[a]的取值范圍.

解析 設[F（x）=f（x）-g（x）=-2x3+3x2+12x-c]，

則由題意可知，[F（x）≤0]對任意[x∈[-3，3]]恒成立.

令[F（x）=-6x2+6x+12=0]得，[x=-1或x=2].

而[F（-1）=-7a，F（2）=20-a，]

[F（-3）=45-a，F（3）=9-a，]

∴[F（x）max=45-a≤0]，∴[a≥45].

即實數[a]的取值范圍為[[45，+∞）].

分離參數法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，將問題轉化為求主元函數的最值，從而求出參數范圍. 這種方法本質還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強. 一般地有：（1）[f（x）f（x）max]；（2）[f（x）>a（a為參數）]恒成立[?a

例4 已知函數[f（x）=ax-4x-x2，x∈（0，4]]時[f（x）<0]恒成立，實數[a]的取值范圍.

解析 分離參數，將問題轉化為[a<4x-x2x]對[x∈（0，4]]恒成立.

令[g（x）=4x-x2x]，則[a

由[g（x）=4x-x2x=4x-1]可知，[g（x）]在[（0，4]]上為減函數，故[g（x）min=g（4）=0].

∴[a<0]，即[a]的取值范圍為[（-∞，0）].

變換主元法

處理含參不等式恒成立的某些問題時，能適時地把主元變量和參數變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化. 一般來說常將其變換為一次式. 一次函數[f（x）=kx+b（k≠0）]在[[α，β]]上恒有[f……