導數學習誤區分析

宋勇

判斷函數單調性時易忽視的一種特殊情況

例1 已知函數[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是減函數，求實數[a]的取值范圍.

錯解 [fx=-x2+2ax-1]，因為[fx]在[R]上是減函數，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1

正解 [fx<0]恒成立的充要條件并不是[fx]在[R]上是減函數.

事實上， 當[a=1]時，[fx=-x-12].

則當[x∈-∞，1]時，[fx<0].

當[x∈1，+∞]時，[fx<0].

當[x=1時，fx=0]，而函數[fx]在[x=1]處連續.

因此[fx]在[R]上是減函數.

同理可知當[a=-1]時，[fx]在[R]上是減函數.

所以[a]的取值范圍為[-1≤a≤1].（有條件的同學可用幾何畫板作出[a=±1]時的函數圖象.）

點撥 錯誤的根源是將函數單調性的充分條件誤認為是充要條件，在根據函數的單調性求解參數問題時最容易犯這種錯誤. 解決這類問題時既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函數單調性求參數的取值范圍，可轉化為不等式恒成立問題.一般地，函數[f（x）]在區間[I]上單調遞增（遞減）等價于不等式[fx≥0（fx≤0）]在區間[I]上恒成立，然后可借助分離參數等方法求出參數的取值范圍，并驗證[fx=0]是否有有限個解.

求函數的極值點二種易混淆的情形

1. 誤認為導數為零的點一定是極值點

例2 函數[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]處有極值[10]，求[a]，[b]的值.

錯解 [fx=3x2-2ax-b]，由題意得，[f1=0]，且[f1=10]，

即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]

正解 [fx0=0]是可導函數[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件.只有同時滿足在[x0]附近導數的符號相反，才能判定在[x=x0]處取得極值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，還應檢驗[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近導數符號的變化情況.經檢驗發現只有[a=-4]，[b=11]符合條件.

2. 誤認為極值只能在導數為零的點處取得

例3 求函數[fx=x2-x-6]的極值.

錯解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2

于是[fx=2x-1 ， x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]得，[x=12.]

當[-20].

當[12

所以當[x=12]時，函數有極大值[254].

正解 [fx0=0]是可導函數[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件……