3-TPT并聯(lián)機床的誤差分析

楊輝，趙恒華，高興軍

(遼寧石油化工大學機械工程學院，遼寧撫順113001)

并聯(lián)機床自1994年問世以來［1－2］，較傳統(tǒng)機床有很大的優(yōu)越性。但是，并聯(lián)機床的精度與高精度的傳統(tǒng)機床相比還有一定的差距。目前工業(yè)上對機床精度的要求越來越高，所以降低并聯(lián)機床的加工誤差，在實際生產(chǎn)中有著十分重要的意義。在眾多誤差影響因素中，鉸鏈的位置誤差以及驅(qū)動桿的測量誤差是影響并聯(lián)機構位姿精度的兩個重要因素。作者根據(jù)誤差獨立作用原理建立3-TPT 并聯(lián)機床的誤差模型，進而對其進行理論分析，并利用MATLAB 軟件對結果進行仿真，為誤差補償提供理論基礎。

1 并聯(lián)機床誤差的一般表達式

并聯(lián)機床的位姿誤差［3－5］是衡量機床性能的重要指標之一，它包括:位置誤差和姿態(tài)誤差。但由于3-TPT并聯(lián)機床的運動平臺在運動中只有位置的變化，而沒有姿態(tài)的變化，故文中主要分析該機床的位置誤差。

如圖1所示，運動平臺的位置［6］是由驅(qū)動桿的長度和鉸鏈點的位置確定的。由誤差獨立作用原理可知，運動平臺的位置誤差是由驅(qū)動桿的長度誤差同鉸鏈點的位置誤差疊加而成的。設矢量p 表示運動平臺的位置，則可得到運動平臺位置的一般表達式為:

式中:l 為驅(qū)動桿組成的關節(jié)坐標矢量，l =［l1，l2，l3］T;Bi為定平臺鉸鏈點的位置矢量;Ai為運動平臺鉸鏈點的位置矢量。

圖1 三桿并聯(lián)機構空間坐標

對式(1)兩端微分可得到3-TPT 并聯(lián)機床運動平臺位置誤差的一般表達式為:

式中:Δl 為驅(qū)動桿的桿長誤差，Δl = ［Δl1，Δl2，Δl3］T;ΔBi為定平臺鉸鏈點的位置誤差，ΔBi=［Δxbi，Δybi，Δzbi］T;ΔAi為運動平臺鉸鏈點的位置誤差，ΔAi=［Δxpi，Δypi，Δzpi］T。

2 驅(qū)動桿桿長誤差對位置誤差的影響

設驅(qū)動桿的桿長誤差為Δl ，并由此引起的運動平臺誤差為Δp1，且它們之間的關系可表示為:

式中:Δp1=［Δx Δy Δz］T，Δl =［Δl1Δl2Δl3］T，為驅(qū)動桿桿長誤差傳遞函數(shù)。

根據(jù)桿長公式可得:

式中:c 為上下平臺外接圓半徑差，即c =R－r。由此可知其誤差傳遞函數(shù)。

為全面考察機床的參數(shù)對位置誤差的影響，故利用無窮范數(shù)K(Δ)對誤差傳遞函數(shù)矩陣進行考察，其可表示為:

式中:aij為誤差傳遞函數(shù)矩陣的元素。

利用誤差傳遞函數(shù)矩陣的范數(shù)評價驅(qū)動桿桿長誤差對運動平臺位置誤差的影響，可表示為:

對于3-TPT 并聯(lián)機床樣機，定平臺外接圓半徑R=600 mm，運動平臺外接圓半徑r =400 mm，l =850 ～1 300 mm，設該機床的特征參數(shù)λ =l/c，利用MATLAB 軟件［7－8］進行仿真，其結果如圖2所示。由圖(a)可知:該并聯(lián)機床運動平臺的位置誤差隨特征系數(shù)的增大而增大。由圖(b)可知:運動平臺離定平臺越近，則驅(qū)動桿桿長誤差對運動平臺的位置誤差的影響越小。圖(c)則表明:運動平臺離工作空間越近，驅(qū)動桿桿長誤差對運動平臺位置誤差的影響越小。

圖2 驅(qū)動桿誤差傳遞函數(shù)范數(shù)與各幾何參數(shù)的關系

3 鉸鏈點位置誤差對位置誤差的影響

在考慮鉸鏈點位置誤差的影響時，根據(jù)誤差獨立作用原理，在考慮某個鉸鏈的影響時，認為其他的鉸鏈不存在誤差。最后將所有鉸鏈點位置誤差的影響累積到一起即為運動平臺的位置誤差。

設(xb，yb，zb)為定平臺鉸鏈點在固定坐標系下的坐標，(xp，yp，zp)為運動平臺鉸鏈點在固定坐標系下的坐標，則有:

假設運動平臺的鉸鏈位置正確，則其位置誤差主要是由固定平臺鉸鏈點的位置誤差所引起的，對式(8)微分則有:

由于運動平臺任意一點的變化都相同，所以運動平臺的位置誤差就是運動平臺鉸鏈點的微小變化［Δxpi，Δypi，Δzpi］T，即:

分別求定平臺鉸鏈點位置誤差對運動平臺位置誤差的影響，則有當i=1 時，有:

令:

由于| B|≠0，所以矩陣B 可逆，則:

同理可求出其他5 個鉸鏈點誤差對運動平臺位置誤差的影響，即:

其相應的誤差影響系數(shù)為:

由式(19)、(20)和(21)可以看出，每根桿兩端鉸鏈點位置誤差對運動平臺位置誤差的影響相同。將式(13)—(15)與式(16)—(18)合并，則有:

因為3 根驅(qū)動桿對稱分布，故每對鉸鏈影響規(guī)律相同，以驅(qū)動桿l1作為仿真對象，方法及參數(shù)與前述相同，利用MATLAB 軟件，仿真結果如圖3所示。由圖(a)可知:該并聯(lián)機床運動平臺的位置誤差隨特征系數(shù)的增大而增大。由圖(b)可知:隨著z 坐標值的增大，鉸鏈點位置誤差對運動平臺位置誤差的影響越大。圖(c)則表明:當x 趨近于0 時，運動平臺的位置誤差隨著y 值的增大而減小。

圖3 鉸鏈點位置誤差傳遞函數(shù)范數(shù)與各幾何參數(shù)的關系

4 結束語

并聯(lián)機床作為新一代的數(shù)控機床，雖然較傳統(tǒng)機床有許多優(yōu)點，但在精度上與高精度傳統(tǒng)機床相比還有一定的差距。分析驅(qū)動桿桿長誤差以及鉸鏈點位置誤差對運動平臺位置誤差的影響，通過理論分析，建立了誤差模型，并用MATLAB 軟件對它進行了仿真分析。從結果可以看出:運動平臺的位置誤差隨著機床結構尺寸的增加而增大，并對機床產(chǎn)生不利的影響。通過誤差分析，建立誤差模型，為機床機構的進一步優(yōu)化以及誤差補償?shù)於嘶A。

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