試析泰勒公式及泰勒級數之妙用

陳旭東

（泉州醫學高等專科學校泉州市362000）

泰勒公式及泰勒級數在數學的應用中極為廣泛，例如泰勒公式在求和以及判斷級數的懶散性方面的應用、在函數的斜漸近線方面的應用、在數值積分方面的應用以及在最優理論中的應用，它能夠有效的解決數學中遇到的一系列難題，從而可以提高教學水平以及教學質量，開發學生的思維，使學生更好的處理在數學中遇到的一系列難題，從而提高解決問題的能力。

一、泰勒公式和泰勒級數

1.泰勒公式

泰勒公式指的是在高等數學中，用于函數的分析和計算，在函數中，為了求其函數值，可以將一些初等的函數將其轉化成一些冪級數進行換算，從而高效并準確的對數學函數進行公式的運算和求解，泰勒公式有利于函數進行精細的分析和計算，打破無理和超越函數的極限對其結果進行換算，有效的簡化了計算步驟和計算程序，從而廣泛應用于數學計算方面。泰勒公式的使用有其一定的條件：在泰勒公式的使用中，要滿足一定的條件才能進行使用，那就是必須保證f(x)n階可導。

在已知函數中，若該函數足夠光滑，那么在該函數一點的各階導數值的情況下，可利用泰勒公式與該導數值做系數，從而建立一個多項式近似函數，在這一鄰域點的值。同時泰勒公式還可以計算出該多項式與實際函數值之間的偏差。

2.泰勒級數

定義：在一個數學函數f（x）中，該函數在點的鄰域中具有直到（n+1）階導數。泰勒級數就是指像此類函數一樣的它在計算以及轉化中的方式，泰勒級數在數學的計算中是必不可少的，在數學計算中占據著重要的作用。

3.泰勒公式和泰勒級數在數學計算應用的重要作用

在函數的求和過程中，可以對冪函數的求導以及積分非開進行，這樣就可以使函數的求和變得相對簡單容易一些。泰勒級數對函數的數值進行大概的計算，泰勒級數可以對一個區域進行解析并得到一個函數，它可以被稱為解析函數使復分析這種方式得到有效的應用。

4.兩者之間的差異性

從泰勒公式以及泰勒級數的定義我們不難看出，泰勒公式對函數的連續導數要求不高，只要求其在0點上可以直接到n+1的連續導數，而泰勒級數要求函數具有任意階的導數，還要求具有余項，所以，我們可以將泰勒級數作為泰勒公式的延伸來對其進行定義與應用。

5.求函數在0點出的泰勒級數的方法

一種是可以直接計算出它的泰勒級數，主要就是先計算出函數在0點的各階的導數，將其泰勒級數寫出來，并根據余項的收斂來確定其收斂的區域范圍，但是運用此方法有一個不可避免的難度就是計算及驗證余項，所以一般除了簡單的求函數級數的題外，一般都不建議采用此方法進行運算。還有一種辦法就是間接的來求該函數級數，一般可以借一些簡單的最基本的函數形式進行交換運算，逐項的進行求積，最后可以導出函數的泰勒級數，這是最簡單的也是在數學應用中使用最廣泛的方法，所以這就要求學生必須掌握基本的函數展開式的方法，以及泰勒公式的使用方法，更好的對其進行運算。

二、泰勒公式和泰勒級數在數學中的應用

1.泰勒公式在求和以及判斷級數的懶散性方面的應用

在函數中，不同的函數有不同的結構，所以用泰勒公式的收斂性可以將不同結構的函數都統一為同一結構的冪函數進行求和，它是研究數學領域函數的重要手段主要運用高階導數進行研究，所以用泰勒公式或者是泰勒級數都可以對級數進行求和并判斷級數的懶散性，以下實例就證明了它的這一特性。

例1運用泰勒公式對函數進行求和計算時，首先應該根據該級數的特性，得出該公式的冪級數，之后再根據其冪級數，得出該冪級數的收斂公式，將冪級數換成想要的形式，我們可以設該函數設為另一計算函數，之后得出原級項數級數的和，根據以上步驟，就可以解出該函數的級數。

級數的斂散性的判斷在數學的應用中來說是比較困難且復雜的，所以在解題的過程中應該注意對函數的放縮以及早級數的性質的應用，把這些要求應該合理的結合加以應用，才能高效率的解出相應函數[4]。

同時在證明數列的收斂性時，根據數列自身的特性，以及已知條件得出數列n達到相應程度之后，呈現正數且與數列中的某一相關聯量同階無窮小，最后得出數列的收斂性。

2.求函數的斜漸近線

函數的斜漸近線是指在一個函數中，當x的大小屬于無窮盡時，函數沒有界限的接近一條固定的直線，但是在這一概念中，直線與該函數的垂直距離屬于無限小的階段。所以就可以將這一條固定直線稱之為該函數的斜漸近線。

在具體求解曲線方程式的斜漸近線的方程式時，可以根據各個曲線方程式，的已知條件與位置條件并對其進行分析，從而利用泰勒公式，對曲線方程式進行計算分解，之后就可以解出該曲線的斜漸近線方程。

3.泰勒公式在數值積分方面的應用

我們可以將f(x)設為F(x)的原函數，我們如果想要知道區間（a，b）的定積分，可以使用牛頓—萊布尼茲公式得出。但是，有的原函數并不能使用初等函數來代替并表達，還有的函數非常復雜，很難求出或者計算出該函數的積分值，如被積函數的數據特別分散的時候，就不能對這種積分進行合理的計算，所以，在函數數值的積分方面，并不是所有在區間上的可積函數的積分數值都可以用牛頓—萊布尼茲公式計算得出的，定積分是一個確定的數值，但是我們并不知道解決定積分的計算方法，所以，這就必須要求我們必須找出定積分的計算方法，這樣我們才能利用泰勒公式建立該函數的定積分的相似的計算公式，這樣就可以對定積分進行相近的計算，所以，我們可以根據被積函數的特性，看其是否可以在積分區間上展開形成冪級數，再然后把這個冪級數進行逐項的積分分析，最后用積分以后的級數算出該函數定積分的近似值。

4.泰勒公式在最優理論中的應用

泰勒公式的應用在解答原函數時，是指將原目標函數的點在其附近展開成泰勒多項式，函數與自變量之間的關系，與目標函數的導數和其梯度相關，在計算與研究某一特定方向的變化率和其最大的變化率，就要用到該函數的方向導數和梯度，函數的極大值和極小值的相關問題，主要包括無約束目標函數的極值條件以及無約束優化等問題，為了確定該函數的最優點，一般都先求出若干個極值點并將其進行比較，在設計問題的優化過程中，函數只有在具備了某種特定的性質時，目標函數的局部極小點才能代表全局的極小點，否則一般都無法將其相提并論，在目標函數的約束最優點上，它與目標函數自身的屬性特質以及約束函數的特質相關，所以有時候為了要滿足約束條件的限制因素，目標函數的自然極點值也并不一定會是該函數的最優點。它的應用主要包括在數值最優理論證明時的應用以及在數值最優化算法設計中的應用[5]。

三、結束語

本文首先介紹了泰勒公式和泰勒級數的一些相關理論知識，進而又通過具體的舉例如泰勒公式在求和以及判斷級數的懶散性方面的應用、在函數的斜漸近線方面的應用、在數值積分方面的應用以及在最優理論中的應用，具體的討論了泰勒公式在與泰勒級數高等數學中的廣泛應用與其重要性，是非常重要的、必不可少的在數學中計算數值的工具，它可以有效的解決高等數學中的復雜難題，對學術以及科研都有很大的意義。泰勒公式和泰勒級數在高等數學中的應用非常廣泛，遠不止文章中的這些，它在其他方面也有很廣泛的應用，所以，我們應該對其進行更多更深方面的探討和研究。

[1]石國學.泰勒公式及泰勒級數應用問題舉例[J].考試周刊，2014，56:69-70.

[2]齊永波.關于泰勒公式及其應用的思考與討論[J].學園，2014，33:63.

[3]于祥芬，李瑩.泰勒公式的幾點應用[J].科教文匯(上旬刊)，2011，02:88+107.

[4]杜曉梅.將函數展開成泰勒級數探微[J].黑龍江生態工程職業學院學報，2014，01:101-102.

[5]莫慶美.泰勒公式在高等數學解題中的使用技巧[J].河南科技，2014，04:198-199.