國內數學符號相關研究綜述

趙東東

（南京師范大學教師教育學院）

一、數學符號概述

1.歷史介紹類

桂質亮從原始計數符號、數字符號以及代數幾何符號三個方面對古代數學符號的發展、演變進行了敘述，并指出：相對于計數技巧，原始計數符號對數學的發展具有更基本、更重要的作用；該時期形成了大致完善的數字符號系統，在代數幾何領域不成系統地出現了一些縮寫與象形符號。

此外，徐美進基于對數學符號的分類，從表示數與量的符號、表示某種運算的符號（即運算符號）、表示某種關系的符號以及僅作為記號的符號等四個方面論述了數學符號的產生、演變和發展。托和勒理則論述了在數學符號化的發展進程中數的記號的產生以及代數的符號化，此外也介紹了笛卡爾和萊布尼茨關于符號化的思想以及數理邏輯興起所具有的深遠意義。

2.數學符號界定

薛茂芳認為：數學符號有兩種含義。一種是單指表示數學概念的符號；另一種泛指整個數學符號體系。它既包括表示數學概念的符號，又包括表示數學命題和數學論證適用的所有符號以及其他專用符號，等等。

徐美進將數學符號分為四類：表示數與量的符號、表示某種運算的符號（即運算符號）、表示某種關系的符號以及僅作為記號的符號。

3.數學符號特點

時靖認為數學符號具有統一性。與一般語言系統不同，數學語言系統每個符號都有具體含義，有統一的標準。此外，數學符號還具有抽象、簡潔、準確、層次性和系統性等特點。

桂質亮指出：數學符號系統具有約定性、規范性、簡潔性、準確性、形式化，以及層次性、系統性等特點。

4.數學符號功能

桂質亮認為數學符號系統的功能體現在傳達數學思想、簡化數學推理、輔助數學思維以及自我生成等方面。

托和勒理認為，數學符號系統是認識的載體、描述的手段以及推理的工具。它可以有效約簡思維、加快思維進程。此外，數學符號系統使思維得以規范，促進了思維的機械化并且使思維過程演算化、計算化，使人機對話成為可能。

二、數學符號學習與教學

1.數學符號學習

戴風明對符號學習的困難成因進行了分析，認為學生數學符號學習困難成因主要有：（1）學生沒有理解數學符號的意義；（2）在使用數學符號時受負遷移影響；（3）缺乏將文字語言轉化為符號語言的能力；（4）缺乏數學語言識別的能力。

2.數學符號教學與應用

王成營認為，承載數學知識的數學符號自成體系，除具有文字語言、符號語言和圖表語言三種等價的符號形式外，還具有基本意義、聯想意義、轉換意義等不同的符號意義。基于此，數學符號意義獲得能力具有多元性、層次性以及發展性。它以數學問題解決教學為例，給出了培養學生符號意義獲得能力的四個階段，即符號的識別與切分、符號意義的聯想與發現、符號意義的整合與優化、符號的操作與表征等。

時靖認為，在數學符號教學中一方面要使學生正確書寫讀出數學符號和準確理解數學符號的意義；另一方面則需加強學生對數學符號的表述。

戴風明認為，在數學符號教學中應激發學生的學習興趣，讓學生從具體情境中抽象出數量關系以及變化規律并用符號來表示。此外，還應使學生理解數學符號的本質特征從而克服學習上的負遷移，通過讓學生學會數學語言各種形態之間的互譯來增強學生的數學符號意識等。

……

3.數學符號意識

戴風明認為，教學中應從以下幾個方面培養學生的數學符號意識：（1）激發學生的學習興趣；（2）使學生能從具體情境中抽象出數量關系、變化規律，并能用符號表示；（3）使學生理解數學符號的本質特征；（4）使學生能對數學語言在各形態間互譯；（5）借助問題解決增強學生的數學符號意識；

李幫魁，吳行鵬認為，培養學生符號意識應注意：（1）充分利用“表征”，豐富學生的符號語言，加深認識。在教學實踐中，應使學生經歷“從具體事物個性化的符號表示學會數學的表示”的符號化表征過程，豐富符號語言，為進行符號思維奠定基礎。（2）掌握不同符號間的轉換。在生活和學習中，通過用多種形式表述和呈現數學對象，可以有效獲得對概念本身或問題背景的深入理解。

在教學實踐方面，萬兆榮以蘇教版“用字母表示數”一課的教學為例，介紹了如何有效引導學生建立符號意識。

三、其他相關研究

郭思樂認為：基礎教育中諸多問題的根源在于對課程的本質認識局限于符號研究課程本體。符號研究課程本體注重把握符號的自身形式，脫離了生活和實際，忽視了學生學習的主體地位。相反，符號實踐課程本體拒絕無意義的形而上重復，把指向生活實際作為符號使用實踐的最終取向，從而利于形成個性化的符號文化、利于提高教育的質量和效率。他進一步提出，揭示兩種課程本體的機理并真正實現由符號研究課程本體向符號實踐課程本體的回歸是深入進行課程改革的關鍵。

喻紹梧從數學語言的特征、數學符號、數學語言的建構等出發對數學語言以及數學符號進行了論述。他認為，數學符號在數學中的引進與應用有利于推動數學的發展。引入符號來代表“數”是代數成為一門學科的關鍵性的一步。此外，他認為“符號的引進不僅具有表述的作用，而且還有創造的作用。”

四、小結與研究展望

之前國內對數學符號的研究涉及領域相對較廣。從縱向發展來看，國內對數學符號的研究由起初的歷史介紹與理論探究逐步豐富、發展并且深入，與實踐教學聯系越發緊密；從橫向來看，數學符號研究內容不斷豐富，如數學符號與數學語言的相關研究、數學符號的識別等，在博碩士論文中還有相關的調查研究與教學策略探究。此外，作為課程標準重要內容的數學符號意識受到重視且研究文章數增長較快。

1.增加實證性的量化研究，建立相應的評估量表

對數學符號進行的理論探討文章雖然較多且涉及面較廣，但是實證性的量化研究卻不多。隨著當今“大數據”時代的到來，應該充分利用和發揮數字的力量，針對部分研究方向進行量化研究。此外，還應建立相應的評估量表，從而得到量化的數據進行統計分析。如，在研究數學符號意識時，有了相應的評估量表就可以得到不同年齡階段、不同符號意識方面學生的發展水平，從而分階段、有針對性地根據相應理論（如“最近發展區”）進行教學活動。

2.加強數學符號實踐教學方面的專門研究

縱覽數學符號相關文獻，雖然博碩士論文中有不少調查類文章、數學符號教學策略類文章，但與實踐教學相結合的、對實際教學產生直接引導與示范作用的高層次文章較少。教育理論的發展應注重在實際生活中的應用，充分發揮其對實踐教學的引領作用。

［1］桂質亮.古代數學符號的發展與演變［J］.華中師范大學學報：自然科學版，1989，23（03）：447-455.

［2］徐美進.數學符號在數學中的作用［J］.遼寧工學院學報，1996，16（04）：77-81.

［3］托和勒理.數學符號系統的形成與認識功能［J］.東北師大學報：自然科學版，1995（02）：31-37.

［4］薛茂芳.數學符號與數學教學［J］.曲阜師范大學學報：自然科學版，1986（02）：92-95.

［5］時靖.淺談數學符號［J］.內蒙古師范大學學報：教育科學版，2011，24（12）：123-124.

［6］桂質亮.論數學符號系統的特點與功能［J］.華中師范大學學報：自然科學版，1990，24（04）：509-515.

［7］戴風明.淺談增強學生數學符號意識的教學途徑［J］.教育與職業，2005（35）：129-130.

［8］李幫魁，吳行鵬.數學符號意識的形成途徑［J］.教育科學論壇，2012（02）：44-45.

［9］萬兆榮.展示建模過程，建立符號意識：關于“用字母表示數”的教學思考［J］.教學與管理，2014：40-42.

［10］郭思樂.課程本體：從符號研究回歸符號實踐［J］.教育研究，2003（07）：72-78.

［11］喻紹梧.數學符號與數學語言［J］.四川教育學院學報，2002，18（05）：62-66.