簡約而不簡單

徐 亮

（江蘇省常州市田家炳高級中學）

前不久，筆者在翻閱幾本高三二輪復習用書的過程中發現，不同的編者卻不約而同地都選用了這樣一道題：“設a∈R，二次函數f（x）=ax2-2x-2a，若f（x）＞0的解集為A，B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫，求實數a的取值范圍。”初看此題，覺得條件簡單直白，問題平淡無奇，但是為何編者們都對此題青睞有加，并將其寫入二輪復習用書中呢？筆者仔細研究了這道題，發現這道題確實有著豐富的內涵和生命力，耐人尋味，值得細細琢磨。

初探

集合運算是這道題的關鍵條件，抓住“A∩B≠覫”作為解題的切入口。集合B已知，故考慮先求出集合A。對于不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）的解集，考查含參的一元二次不等式的解法，需要進行分類討論。

這樣的解法樸實無華，回歸集合運算的本質，通過解含參不等式，借助數軸比較區間端點的大小實現問題的解決。但是，不難發現，這種方法的求解過程中涉及無理不等式的求解，對計算能力的要求較高，學生易錯。

再探

回到原題再看“B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫”，豁然開朗——問題可以轉化為：不等式 ax2-2x-2a＞0（a≠0）在 a∈（1，3）上有解，也即存在 a∈（1，3），使 ax2-2x-2a＞0 成立。

此解法沒有停留在原有問題的表面，將集合A，B的交集不空轉化為不等式在給定區間上有解的問題，為解決本題跨出了堅實有力的一步。但是，怎么看都覺得這個方法的解題過程略顯繁雜，還有簡化改進的空間嗎？

三探

既然解法二中已經將問題轉化為不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）在a∈（1，3）上有解的問題，何不順藤摸瓜，沿著這條線繼續前行。對于一元二次不等式在給定區間上有解，借助二次函數的圖像研究更為直觀。

問題到此似乎已經尋找到解決該題的最佳方法，但是學生的思路又給這道題的解決開辟了更廣闊的途徑。

學生的思路

先考查A∩B≠覫時，實數a的取值范圍。

對于二次函數f（x）=ax2-2x-2a，方程ax2-2x-2a=0兩根x1x2=-2＜0，函數有兩個零點分別在y軸的兩側；

當a＞0時，拋物線開口向上，此時若要求A∩B≠覫，只需（f3）≤0即可，解之得：0＜a≤；

當a＜0時，拋物線開口向下，此時若要求A∩B≠覫，只需（f1）≤0即可，解之得：-2≤a＜0；

所以當A∩B≠覫時，實數a的取值范圍是-2≤a＜0或0＜a≤，那么若A∩B≠覫，且a≠0，則a的取值范圍是a＜-2a＞。

此解法從問題的另一個角度入手，另辟蹊徑，化歸為不等式無解問題進行研究，顯得更加清晰明朗。

回顧本題的幾種不同解法，雖然有些略顯冗長和復雜，有些卻娓娓道來，但是相比較本題的優美解，筆者更欣賞解法一和解法二。對于某些數學問題，在計算并不復雜的情況下，回歸樸素自然的方法也是不錯的選擇。數學解題就是一個從無到有、從有到優的過程，“有”和“優”兩個結果都可以實現問題的最終解決，并不是每一次的解題都能尋求到最簡潔、最漂亮的方法。如果一味追求優美解，可能就會忽略數學解題中最真實的本源、最自然的流露。巧解、妙解的背后也許就隱藏著更大的危機。在平時的教學中，教師也要有意識地引導學生，從最基本的方法入手，掌握數學知識的本質，提高分析問題與解決問題的能力。同時，教師更要對高考試題進行深入剖析與研究，從近幾年的高考題中，找到高考命題的共性與變化趨勢。從一些相似問題的研究中發現變化、尋找規律，讓這些陳題、好題發揮其內在價值，滲透在平時復習的各個環節中，提高高三復習的效率。