實際問題與一元一次方程

◆于海源

(河北省承德市興隆縣小東區中學)

在新課改的倡導下，更加注重學生數學能力的提升，注重培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，一元一次方程是初中數學教學中非常關鍵的內容，學好一元一次方程就好比打通了數學教學的重要通道，對于提升學生的數學思維能力具有重要的作用。為此，筆者重點總結了一元一次方程的基本過程，并做了重點的研究分析，歸納了一元一次方程在解決實際問題方面應該注意的內容。

一、一元一次方程的主要類型和基本過程

在七年級數學教學中，一元一次方程主要是這種類型:未知數是一個的一元一次方程，比方說，如果未知數是x，則一元一次方程的形式就是ax+b=c，在這個方程中，a 不能為零，b 和c 為有理數。同理，如果未知數是y，或者其他的未知數，則一元一次方程就ay +b=c，或者用其它的數去代替，同樣的道理，a 不能是零，b 和c 可以是任意的有理數。

一元一次方程的基本過程為:先設未知數，再根據等量關系去列方程式，第三步解方程，其中未知數的系數要簡化為1。那么，在解決實際問題的過程中如何運用一元一次方程呢?其基本的過程也是相同的。首先根據實際問題先設未知數，在根據實際問題中的等量關系列好方程，解方程，并在最后要檢驗方程的結果。

一元一次方程運用到實際問題中，主要體現在以下幾個方面:(1)運用一元一次方程如何解決增長率的問題;(2)解決個人所得稅的計算問題;(3)運用方程接受稅費的計算問題;(4)運用方程去解決路程的問題。

二、運用一元一次方程解決實際問題應注意的問題

一元一次方程的解析主要體現在實際的運用中，只有在實際操作中才能體現一元一次方程的價值，在具體的方程運用中，應注意以下幾點:

(1)如果方程的兩邊有同類項，先要移項，這是解方程的第一步，并且在移項的過程中要注意符號的變化;(2)如果方程的左右有括號的話，要先去括號，在去括號時要注意相應的規則;(3)如果方程中兩邊系數是分數，要首先去掉分母，化成整數后再計算;(4)如果方程的一邊有同類項，首先要合并;(5)方程中未知數的系數要化為1。下面具體舉一些例子來論證。

例如，通過一元一次方程來計算水費的問題。例1:當前，我國大部分城市水資源非常匱乏，國家倡導要節約用水，減少水資源的浪費，為此許多城市規定了水費的使用標準，其中某一城市規定每一用戶每個月的用水量，如果不超過標準量按沒立方米2.5 元收取費用，超過了規定的標準量將按照每平方米5 元去收費。大亮全家五月份的用水量為9 立方米，交水費35 元。此題問該城市規定的每一用戶的標準用水量是多少?

具體解析:由于2.5 ×9=22.5 ＜35，所以，9 立方米已經超出了該市每戶用水的標準量。其等量關系是:總費用=標準用水費用+超出的用水量費用

解:設每一用戶的用水標準量為x 立方米。因為2.5 ×9=22.5 ＜35，因此，大亮家用水量超出了該市的標準用水量，根據題意可以得出:

2.5x+5(9—x)=35

首先去括號，得出:2.5x+45—5x=35

再移項，得出:2.5x—5x=35—45

第三步，合并同類項，得出:—2.5=—10

最后，將系數化為1，得出:x=4

答:該城市中制定的每一用戶的標準用水量是4m3。

例2:運用一元一次方程解決路程的問題。

王五和李三二人分別從王莊和李莊兩地相向而行，已知王莊和李莊相距158 千米。王五從王莊先30 分鐘出行，后來李三也從李莊出發，李三每小時比王五多走6 千米，一個小時以后王五和李三相遇。問王五和李三分別走的路程為總路程的多少?

具體解析:由題干中可知試題中總路程是不變的，因此具體關系為:總路程=王五走的路程+李三走的路程

解:假設王五每小時走x 千米，那么李三每小時走(x +6)千米，根據題干可以列出方程:

30/60x+(x+x+6)×1=158

首先，去分母，得出:30x+60(2x+6)=158 ×60

再去掉括號，得出:30x+120x+6 ×60=158 ×60

第三步是移項，得出:30x+120x=158 ×60 -6 ×60

最后，合并同類項，得到:150x=9120

這時可以得出結論:x=60.8

最終，可以通過計算的方式，得出王五和李三分別走的路程是總路程的幾分之幾。

另外，一元一次方程通過轉化也可變為一次函數，例如，在方程ax +b=c 中，b 和c 是有理數，并且a 不可以是零。如果將a 看成q 的時候，x 當成自變量x、c 當成因變量y 的時候，一元一次方程ax+b=c 變成了一次函數y=qx+b，在這種情況下用一次函數也可解決實際的應用題。

同理，一元一次方程也可以變為二元一次方程。例如，當把方程ax+b=c(a 不能為零)中的b 看作另一未知數的時候，比方說e、f、g、h 等其中的一個數時，ax+b=c 就可以變ax+e=c、ax+f=c、ax+g=c、ax+h=c(這些方程中a 和c 可以不取同一個值且是任意的有理數)等。當同樣的實際應用題中由存在一個不確定值變為兩個時，這時就可以把原來的一元一次方程轉化為二元一次方程解決有關問題。

還可以用同樣的方法，將一元一次方程轉化為三元一次方程。例如，如果把一元一次方程ax+b=c 中的b 當作是e、f、g、h，這時任何兩個未知數相組合時，ax+b=c 就可以轉化為ax+e+f=c、ax+f+g=c、ax+g+h=c 等。如果同樣的實際應用題中由存在一個不確定值變成三個的時候就可以把一元一次方程轉化為三元一次方程去解決有關問題。同樣的道理，在應用一元一次方程解決實際問題時，可以轉化為N 元一次方程，從而一次類推，去解決實際問題。

總之，用一元一次方程去解決實際問題是數學教學的關鍵，廣大數學教師要將一元一次方程作為數學教學中的重點內容去對待，主要是在教學中引導學生學會歸納和總結，提高學生用方程解決實際問題的能力，對于提高學生的數學能力具有重要的意義。

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［4］人民教育出版社中學數學室.人教版《義務教育教科書·數學》(7～9 年級)總體介紹(續)［J］.中學數學教學參考(中旬)，2012.