低滲氣藏“楔形”裂縫多段壓裂水平井產能預測模型

許佳良，許 良，曹海寧

（1.中國石油大學石油工程教育部重點實驗室，北京 102249；2.中國石油渤海鉆探井下作業分公司，河北任丘 062552；3.中國石油渤海鉆探第四鉆井工程分公司，河北任丘 062552）

對于低滲透致密油氣藏，僅采用水平井開發往往達不到所預期的開發效果，為此，常常進行水力壓裂產生多條裂縫以增加水平井的產能[1]。郎兆新等[2]采用復位勢理論和疊加原理推導出壓裂水平井產能預測公式，使壓裂水平井產能預測的精度有較大提高，但作者假設壓裂水平井每條裂縫的產量都相等與實際不相符。寧正福等[3]在此基礎上對壓裂水平井的產能預測公式進行了修正，考慮了裂縫內滲流阻力和壓力損失，但將裂縫看成恒定寬度和裂縫中的流動假設為平面徑向流，不符合裂縫實際形態和裂縫中流體流動形態，而且將氣藏厚度的一半直接當作供給邊緣半徑，這些因素無疑使計算結果偏大。韓樹剛等[4]根據流體力學理論和動量定理，結合氣體的性質和實際氣體的狀態方程，建立了氣藏壓裂水平井地層滲流和水平井筒管流耦合的計算模型。郭建春等[5]研究了裂縫實際形態對壓裂井產能的影響，主要針對直井而非多段壓裂水平井。本文在考慮裂縫內滲流阻力的基礎上，將裂縫形態假設為“楔形”，縫內流動假設為線性流動[6-8]。通過對比計算，分析了裂縫位置、裂縫長度及裂縫形態對多段壓裂水平井產能影響，并進行了實例驗證，效果良好。

1 物理模型

就壓裂水平井而言，人工水力裂縫是油氣滲流的主要通道，產能模型中裂縫內流體流動計算模型對模型計算結果具有重要影響，而計算模型的精確性則直接由裂縫物理模型決定。在裂縫閉合后，裂縫寬度不是恒定不變的，靠近井筒部分鋪砂濃度高，裂縫寬度較大，遠離井筒部分鋪砂濃度較低，裂縫寬度較小，最終形成的裂縫從縫端到井筒逐漸變窄，可以將裂縫水平截面假設為楔形（見圖1）。

圖1 楔形裂縫模型橫截面示意圖Fig.1 The cross-sectional schematic of wedge-shaped fracture model

2 數學模型

2.1 模型假設

（1）上下封閉的無限大非均質地層；（2）地層中心有一口水平井；（3）裂縫等距離分布，垂直于水平井筒并完全垂直穿透儲層；（4）裂縫的水平剖面為梯形，垂直剖面為矩形；（5）流體僅通過裂縫流入井筒；（6）油藏中為單相氣體流動，且滿足達西定律。

2.2 數學模型推導

2.2.1 氣藏中壓降計算 根據油藏壓裂水平井產能預測公式，結合壓力函數的定義和真實氣體的狀態方程，將壓裂水平井的產量換算為地面標準狀況下氣體的產量，則從氣藏到壓裂水平井裂縫的壓降可以用公式[2]表示為：

式中：N-裂縫條數；Pe-供給邊界壓力，MPa；Pfj-第j 條裂縫縫口壓力，MPa；μg-氣體黏度，mPa·s；Z-氣體偏差因子，無量綱；PSC-標準大氣壓，MPa；T-地層穩溫度，K；TSC-標準狀況下溫度，K；kh-水平方向滲透率，μm2；h-地層厚度，m；L-水平井筒長度，m；d-裂縫間間距，m；Re-供給半徑，m；Lf-裂縫半長，m；Qgi-第i 條裂縫產量，m3/d；j=1，2，...，N，j 每增加1，i 從-No到No增加1（N 為奇數時）或2（N 為偶數時）。

2.2.2 裂縫中壓降計算 在建模過程中，利用對稱性，取氣藏的1/4 來建立模型（見圖2）。將裂縫的一翼視作由n 部分組成，裂縫模型以井眼坐標為原點，裂縫延伸方向為分x 軸方向。

圖2 裂縫建模示意圖Fig.2 The schematic of fracture model

圖4 裂縫劃分示意圖Fig.4 The schematic of wedge-shaped fracture and segment dividing

模型中假設裂縫的水平剖面為直角梯形（見圖3），建模過程中將裂縫劃分為n 個微元段（見圖4），以計算各段裂縫寬度和壓降。以井眼為原點，距井眼xoi處的oi 裂縫寬度為：

點oi 與oi+1 之間的平均裂縫寬度為：

式中：Wave.i-第i 段平均寬度，m；xoi-oi 點距井筒距離，m；Wheel-縫端寬度，m；Wtoe-縫口寬度，m；Wo（i+1）-o（i+1）點處寬度，m；Woi-oi 點處寬度，m。

根據達西定律可以得到縫端到井筒壓力降為：

流體為天然氣，根據壓力函數的定義和真實氣體的狀態方程，并將裂縫產量換算為地面標準狀況下氣體產量，則上式可寫為：

式中：Pwfj-第j 條裂縫縫端壓力，MPa；kf-水平滲透率，μm2。

設所有裂縫縫端壓力都等于井底壓力，即Pwf=Pwfj，由式（1）和式（5）疊加可得：

由上式聯立可以得到一個有N 個未知數N 個方程的線性方程組（式7）：

其中：

利用高斯消元法進行求解得到每條裂縫產量Qgi，則壓裂水平井產量為各條裂縫產量之和為：

氣藏直井產量公式為：

定義無因次增產倍數JD為：

式中：Qg-各裂縫產量之和，m3/d；Qv-直井產量，m3/d；JD-無因次增產倍數。

3 實例計算及模型分析

3.1 實例計算

國內某氣田地層厚度為8 m，縫口寬度為8.4 mm，縫端寬度為0.6 mm（平均縫寬為4.5 mm）氣體黏度0.023 mPa·s，水平段長度500 m，裂縫半長40 m，氣層厚度8 m，水平方向滲透率0.83×10-3μm2，裂縫滲透率30 D，地層壓力27.53 MPa，井底壓力23.53 MPa，地層穩定100 ℃，井筒半徑0.1 m，供給半徑為400 m，相應的產量為3.24×104m3/d。楔形模型計算產量為3.29×104m3/d，與實際產量誤差為7.16 %，“寧正福”模型產量（按平均縫寬計算）與實際產量誤差為11.28 %。

水平井壓裂后各裂縫之間不進行補孔，計算不同裂縫位置對水平井產能的影響，以7 條裂縫壓裂水平井為例，計算結果（見表1）。

表1 每條裂縫產量Tab.1 The production of each fracture

3.2 壓裂水平井產能分析

3.2.1 裂縫位置對壓裂水平井產能的影響 水平井壓裂后各裂縫之間不進行補孔，計算不同裂縫位置對水平井產能的影響，以7 條裂縫壓裂水平井為例，計算結果（見表1）。

從表1 可以得出，壓裂水平井中每條裂縫的產量并不相同，從趾端到跟端產能呈現“U”型（見圖5）。因此，在實際生產采取增產措施過程中應該注意提高壓裂水平井趾端和跟端處裂縫的生產能力，以獲得良好的增產效果。

圖5 裂縫位置對水平井產量的影響Fig.5 The position of fracture vs a horizontal well productivity

3.2.2 裂縫條數對壓裂水平井產能的影響 隨著裂縫條數的增加（見圖6），壓裂水平井產量不斷升高，裂縫條數為4～6 條時，壓裂水平井產量達到最大值。裂縫條數大于6 條時，壓裂水平井產量隨裂縫條數的增加不再明顯。

圖6 裂縫條數對水平井產能的影響Fig.6 The numbers of fracture vs a horizontal well productivity

3.3 新舊模型對比

從圖7 可以看出，文獻[3]中公式計算的壓裂水平井產能與“楔形”模型計算結果相比明顯偏大。文獻[2]采用復位勢理論和疊加原理推導了壓裂水平井穩態產能公式，但假設每條裂縫產能相同與實際情況明顯不符。從圖5 可知，中間裂縫與兩端裂縫相比產能偏小。文獻[3]在此基礎上考慮裂縫中的滲流阻力和壓力損失，將裂縫中的流動假設為平面徑向流動，使預測的準確性有一定提高。但是將壓裂水平井裂縫中的流動假設為徑向流動與實際情況不符，造成計算產能偏高。“楔形”模型將裂縫中的流動考慮為線性流動，并考慮實際裂縫形態對氣體在裂縫各段中流動造成壓降不同，“楔形”裂縫越靠近井眼，裂縫寬度越大，流動阻力增幅減小，更加符合氣藏裂縫中實際流動。因此采用“楔形”裂縫模型計算產量誤差更小。

圖7 新舊模型對比Fig.7 The comparison of the new and old model

圖8 不同滲透率條件下裂縫長度對產能的影響Fig.8 The impact of the length of fracture on a horizontal well productivity under different permeability conditions

從圖8 可知，kh＜0.1 mD 時楔形模型與舊模型計算的壓裂水平井增產倍數非常接近（兩模型平均縫寬相同），隨著裂縫長度增加，增產倍數開始增加較快然后變慢最后趨于平緩。由于kh＜0.1 mD 地層向裂縫供液能力相對弱，裂縫寬度能夠滿足隨著裂縫長度增加導致的水平產量增加的流動需要，所以裂縫越長產量越高增產倍數越大。在滲透率一定時，地層向水平井供液的能力是一定的，所以隨裂縫長度增加水平井產能不再增加曲線趨于平緩。

當kh＞0.1 mD 時，楔形模型增產倍數曲線與舊模型呈現截然不同的形狀，增產倍數隨著裂縫長度的增加先增加后下降且明顯低于舊模型增產倍數曲線。地層滲透率相對高，地層向裂縫供液能力強，氣體在裂縫中滲流阻力明顯增加。在縫口寬度Wtoe不變的情況下，裂縫長度越大，距縫口較近縫寬小的裂縫長度增加，同時地層供液能力強，造成在這段縫寬小的裂縫中滲流的壓降劇烈增加，出現隨裂縫長度增加增產倍數反而減小的現象。所以在實際采取增產措施過程中，對于滲透率相對高，供液能力充足的地層，在增加裂縫長度的同時一定要保證縫口寬度。如果縫口寬度過小會造成裂縫長度越長增產倍數反而下降。

與楔形模型相比，舊模型未考慮實際壓裂產生的裂縫形狀對流體在裂縫中流動影響，造成增產倍數計算結果總體偏高。

3.4 裂縫參數對壓裂水平井產能的影響

不同滲透率條件下楔形模型無因次增產倍數隨縫口寬度變化曲線（見圖9）。kh＜0.1 mD 及裂縫長度一定時，縫口寬度從0.006 m 變化到0.054 m 時，增產倍數增加不明顯。由于地層滲透率小，供液能力差，裂縫寬度能夠滿足流動需要。當kh＞0.1 mD 時，縫口寬度從0.006 m 到0.038 m 時，增產倍數迅速增加。由于在縫口寬度較小時，靠近裂縫前段滲流阻力很大，因此隨著縫寬增加，增產倍數迅速增加。但當縫口寬度大于0.038 后，增產倍數增加變慢，曲線趨于平緩。所以可以確定0.022 為在此油藏條件下最優平均縫寬。從圖5可知，在其他滲透率條件下，同樣表現出這種規律。所以從圖5 可以得到最優平均縫寬。

圖9 不同滲透率條件下縫口寬度對產能的影響Fig.9 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different permeability conditions

不同裂縫長度下楔形模型無因次增產倍數隨縫口寬度變化曲線（見圖10）。由圖10 可知，無因次增產倍數隨著縫口寬度增加而變大；長裂縫比短裂縫增產倍數增加率明顯要大，說明縫口寬度對長裂縫影響更大。在壓裂施工過程中，不僅要使裂縫延伸較長，而且要特別注意長裂縫縫口寬度，才能得到較高的增產倍數。

圖10 不同裂縫長度條件下縫口寬度對產能影響Fig.10 The impact of the width of fracture tip on a horizontal well productivity under different fracture length conditions

4 結論

（1）本文考慮裂縫中流動形態及裂縫形狀，建立了“楔形”裂縫壓裂水平井產能預測模型，以更加真實的裂縫形態預測壓后產能，計算結果精度更高。

（2）壓裂水平井裂縫產量由端部向中部逐漸減小，同時由于裂縫間的相互干擾，對壓裂水平井來說，裂縫條數并不是越多越好；縫口寬度對裂縫段滲流阻力的影響，裂縫長度并不是簡單的越長越好，而是應該滿足一定縫口寬度。

（3）地層滲透率較小時，供液能力差，縫口寬度對增產倍數影響較小。當地層滲透率較大時，隨著縫口寬度增加，增產倍數迅速增加。無因次增產倍數隨著縫口寬度增加而變大，長裂縫比短裂縫增產倍數增加率更大。

［1］ 范子菲，方宏長，午新年.裂縫性油藏水平井穩態解產能公式研究［J］.石油勘探與開發，1996，23（3）：52-63.

［2］ 朗兆新，張麗華，程林松.壓裂水平井產能研究［J］.石油大學學報（自然科學版），1994，18（2）：43-46.

［3］ 寧正福，韓樹剛，程林松.低滲透油氣藏壓裂水平井產能計算方法［J］.石油學報，2002，23（3）：69-71.

［4］ 韓樹剛，程林松，寧正福.氣藏壓裂水平井產能預測新方法［J］.石油大學學報，2002，26（4）：36-39.

［5］ 郭建春，路千里，曾凡輝.楔形裂縫壓裂井產量預測模型［J］.石油學報，2013，34（2）：346-353.

［6］ 李廷禮，李春蘭，吳英.低滲透油氣藏壓裂水平井產能電解模擬實驗研究［J］.中國海上油氣，2005，6（12）：389-393.

［7］ DIKKEN B J. Pressure drops in horizontal wells and its effects on their production performance［J］.SPE19284，1989.

［8］ NOVY R A. Preesure drops in horizontal wells when can be ignored［J］.SPE24941，1992.