外邊界封閉內邊界定壓油氣井模型求解及分析

姬安召，崔建斌，薛胥青，王玉風，許 泰

（ 1.隴東學院能源工程學院，甘肅慶陽 745000；2.隴東學院數學與統計學院，甘肅慶陽 745000）

1949 年Van Everdingen 采用拉普拉斯變換求解油氣滲流數學模型， 為油氣滲流數學模型求解引入新的方法[1]。 20 世紀60 年代初，Баренбдатт 建立了雙重介 質 達 西 滲 流 的 數 學 模 型。 KazemiH.、OdehA.S.、WarrenJ.E.、Polalrd、陳鐘祥、蔣繼光等人研究了雙重介質達西滲流[2，3]。 20 世紀末，葛家理、吳玉樹等人對三重介質滲流特征進行了研究，劉慈群、劉曰武對表皮效應和井儲效應模型的拉普拉斯空間解進行研究， 姚軍等也對這類三重介質做了理論研究[4，5]。 2006 年李成勇對三重介質油藏模型及水平井試井解釋方法進行研究[6]。2008 年張利軍對雙滲三重介質油藏試井分析方法進行研究[7]。但這些模型基本都是基于井底定產量條件來研究的，在實際現場，生產過程中可能會出現井底定壓的情況， 針對井底定壓生產情況研究較少，Van Everdingen 和Hurst 等人做了這方面的研究。筆者在前人研究成果的基礎之上， 分別對油氣井井底定壓生產過程中滲流規律進行研究。

1 油井數學模型建立及求解

1.1 數學模型

模型假設[8]條件：儲層中的滲流為單相（ 油相）滲流；儲層中流動的油相是微可壓縮；儲層為均質水平等厚；油相在地層中的流動服從達西定律；不考慮儲層污染和井儲效應。

為了研究問題的簡便， 需要把某些有量綱的物理量進行無量綱化，即引進無量綱參數[8]，具體無量綱參數定義如下：

無量綱壓力：

無量綱時間：

無量綱半徑：

根據上述無量綱參數的定義， 可以得到圓形封閉地層中心有一口油井以恒定井底壓力進行生產時無量綱化滲流數學模型如下：

1.2 微分方程的求解

根據拉氏變換的定義[9]和拉氏變換微分定理性質，對（ 4）式tD→進行拉氏變換。通過拉氏變換，將偏微分方程轉換為二階常微分方程， 方程為零階變形的貝塞爾方程，其方程的通解[9]為：

根據貝塞爾函數的性質[9]，再結合封閉外邊界拉氏變換壓力導數等于零和定壓內邊界拉氏變換等于1/可得系數A 和B：

將式（ 6）代入（ 5）式可得方程（ 4）式的特解為：

1.3 壓力反演

現在需要對拉氏空間的解進行反演， 按照反演的原則，首先需要確定被反演函數的奇點，由上式可以看出，其中一個奇點是=0，而其他奇點是和有關的。在＞0 的正實軸上， 分母上的貝塞爾函數不會為零[8]，只有在為負值，即=-u2時，分母中的函數變為帶虛自變量的函數才有可能出現奇點。

根據貝塞爾函數的性質[9]，對（ 7）進行極限運算可得：

根據拉氏反變換的性質則有：

1.4 產量分析

為了得到油井產量的變化規律， 先求解井底無量綱壓力梯度，對式（ 11）進行求導可得式（ 12）。

因為：

代入式（ 13）可得：

故定義無量綱產量如下：

根據無量綱產量的定義，結合（ 15）式，可得式（ 16）。

其中：p-壓力（ 0.1 MPa）；t-時間（ s）；k-滲透率（ μm2）；φ-孔隙度（ 小數）；r-半徑（ cm）；h-儲層有效厚度（ cm）；μ-粘度（ mPa·s）；ct-綜合壓縮系數（（ 0.1 MPa）-1）；Qo（ t）-產量（ 井下產量）（ cm3/s）；A-滲流面積（ cm2）；v，-滲流速度（ cm/s）。

根據（ 15）式，當無量綱產量計算精度設置為10-6時，則通過圖1 可以看出，在壓力波傳播到邊界以前，單井的產量不變，當壓力波傳播到邊界以后，不同的供給邊界，其產量的變化規律不一致，供給半徑越大，其產量開始下降的時間越晚。

根據（ 15）式，當無量綱產量計算精度設置為10-6時，則通過圖2 可以看出，當無量綱半徑越小，計算時所需的根越少；當無量綱時間越大，計算時所需的根越少。

2 氣井定井底壓力生產時常用工程單位下的產量表示

同油井模型建立及求解的方法一致， 可得氣井定井底壓力生產時在標況下的產量計算公式。

圖2 無量綱半徑、無量綱時間與復合貝塞爾方程根數量關系曲線

式（ 17）為壓力形式，式（ 18）為壓力平方形式，式（ 19）為擬壓力表示形式，根據式（ 16），結合單位換算方法，可得式（ 20）常用工程單位油井產量。

式中：p-壓力（ MPa）；ψ-擬壓力（（ MPa）2/mPa·s）；rw-井半徑（ m）；t-時間（ h）；k-滲透率（ mD）；μ-粘度（ mPa·s）；h-地儲層有效厚度（ m）；ct-綜合壓縮系數（（ MPa）-1）；Qo（ t）-油井產量（ 井下）（ m3/d）；Qgsc（ t）-氣井標況下的產量（ 104m3/d）。

3 結論及建議

（ 1）井底定壓生產時，無量綱供給半徑對無量綱產量的影響較大，不同的供給半徑，其無量綱產量的變化規律不一致。

（ 2）無量綱供給半徑越大，無量綱時間越短，復合貝塞爾方程根的個數對無量綱產量的影響越大。

（ 3）建議合理選擇復合貝塞爾方程：Y1（ rDeai）J0（ ai）-Y0（ ai）J1（ rDeai）=0 根的個數，這樣才能保證計算產量具有可靠性。

［ 1］ Van Everdingen.The Application of the Laplace Transformation to Flow Problems in Reservoirs［ J］. Journal of Petroleum Technology，1949，1（ 12）：305-324.

［ 2］ 蔣繼光，等.裂縫性儲集層內滲流間題的精確解［ J］.力學，

1977，（ 23）：263-269.

［ 3］ 蔣繼光.裂縫性儲集層內滲流問題的精確解Ⅱ［ J］.應用數學學報，1980，3（ 3）：210-222.

［ 4］ 吳玉樹，葛家理.三重介質裂-隙油藏中的滲流問題［ J］.力學學報，1983，（ 6）：643-650.

［ 5］ 馮文光，等.多重介質組合油藏非定常非達西高速滲流問題的解析研究［ J］.西南石油大學學報，1985，22（ 3）：14-28.

［ 6］ 李成勇，劉啟國，張燃，等.三重介質油藏水平井試井解釋模型研究［ J］.西南石油大學學報，2006，28（ 4）：32-37.

［ 7］ 張利軍，程時清，尹洪軍.雙滲三重介質油藏試井分析［ J］.特種油氣藏，2008，15（ 5）：66-73.

［ 8］ 郎兆新.油氣地下滲流力學［ M］.北京：石油大學出版社，2001.

［ 9］ 梁昆淼. 數學物理方法［ M］.北京：高等教育出版社，2010.