稠油油藏水平井冷采試井模型半解析求解方法

孫玉豹，劉義剛，鄒 劍，張 偉，張衛行

（ 1.中海油田服務股份有限公司油田生產事業部，天津 300450；2.中海油有限天津分公司渤海石油研究院采油工藝所，天津 300450）

目前， 水平井試井數學模型的求解方法可分為解析法和數值法。由于數值試井常出現數值彌散，計算發散等情況， 解析或半解析法是試井優先使用的一種解法。 對于存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采數學模型，目前解法集中在差分、有限元等數值方法，缺少一種可應用于試井解釋的半解析求解方法。 本文從基于源函數的水平井試井數學模型入手， 提出了完整的水平井壓力分布半解析求解方法。

1 稠油油藏水平井冷采無井儲井底壓力求解

1.1 源函數的確定

根據Newman 乘積方法， 可將存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應源函數歸結為一個板源函數和一個存在啟動壓力梯度線源函數的疊加，即：

式中：S（ M，t）-存在啟動壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應源函數；SX（ X，t）-對應的板源函數；Sλ（ r，t）-對應的存在啟動壓力梯度線源函數。

板源函數SX（ X，t）由不同的外邊界條件確定，可在文獻中查得[1]。 存在啟動壓力梯度的線源函數Sλ（ r，t）按照（ 2）式對不同油藏假設下的實空間壓力變化分布Δp（ r，t）求導得到。

式中：φ-孔隙度，小數；c-總壓縮系數，atm-1；q-水平井產量，cm3/s；L-水平井水平段半長，cm；r-徑向坐標；t-時間。

一般情況下，為了使數學模型簡單并可解析求解，壓力變化分布Δp（ r，t）中不考慮井儲。

1.2 實空間無井儲井底壓力解

式中：pi-地層原始壓力，atm。

2 稠油油藏水平井冷采有井儲井底壓力求解

將得到的實空間無井儲壓力分布p1（ r，t）轉化至Laplace 空間，即可使用杜哈美原理、Stehfest 數值反演將其變為實空間有井儲壓力分布p2（ r，t）。

2.1 實空間無井儲井底壓力解的離散化

將在產量q 下的井底壓力曲線p1（ rwe，t）（ 見圖1）離散化成若干段， 其壓力變化分別為：dp1，dp2，dp3…dpn。 其中：rwe-等效井筒半徑，cm。

圖1 壓力曲線離散化示意圖

則p1（ rwe，t）可被表示為：

2.2 實空間有井儲井底壓力解的構造

其中，無因次定義式為：

式中：k-有效滲透率，μm2；h-油層厚度，cm；pi-原始地層壓力，atm；p-壓力，atm；q-產量，cm3/s；B-體積系數，無因次；μ-粘度，mPa·s；t-時間；φ-孔隙度，小數；rwe-等效井徑，cm，rwe=rwe-s；rw-井筒半徑，cm；S-表皮因子，無因次；λb-啟動壓力梯度，atm/cm；下標D-無因次化后的變量。

根據杜哈美原理，可按照（ 7）式構造Laplace 空間有井儲井底壓力解

然后再次利用無因次化定義式和stehfest 數值反演，即可得到實空間有井儲井底壓力解p（ rwe，t）。

3 稠油油藏水平井冷采試井響應規律分析

使用本文提供的稠油油藏水平井冷采半解析求解方法，選取典型的稠油油藏水平井冷采基礎參數（ 見表1）， 分析了井筒儲集系數和啟動壓力梯度對壓力響應曲線的影響。

表1 存在啟動壓力梯度水平井冷采基礎參數表

特別地，除常規的壓力-壓力導數曲線外，針對水平井提出標準化壓力

3.1 井儲壓力響應規律

井儲考慮0.1、0.5、1、2 m3/MPa 四個水平， 得到了對應的壓力-壓力導數、 壓力-標準化壓力雙對數曲線（ 見圖2、圖3）。分析圖2、圖3，井儲對水平井冷采壓力響應的影響規律表現為：井儲系數越大，壓力-壓力導數曲線前期直線段數值越小， 壓力導數和壓力曲線的分離時間越早，壓力-標準化壓力水平段越長，標準化壓力第一個峰越不明顯。

圖2 不同井儲時壓力-壓力導數雙對數曲線

圖3 不同井儲時壓力-標準化壓力雙對數曲線

3.2 啟動壓力梯度壓力響應規律

啟 動 壓 力 梯 度 考 慮10-3、10-4、10-5MPa/m 三 個 水平，得到了對應的壓力-壓力導數、壓力-標準化壓力雙對數曲線（ 見圖4、圖5）。分析圖4、圖5，啟動壓力梯度對水平井冷采壓力響應的影響規律表現為： 主要影響測試中期、后期；啟動壓力梯度越大，壓力-壓力導數曲線后期數值越大， 壓力導數和壓力曲線后期上翹越明顯，標準化壓力第二個峰值數值越小。

圖4 不同啟動壓力梯度壓力-壓力導數雙對數曲線

4 結論

（ 1）針對存在啟動壓力梯度下稠油油藏水平井冷采試井數學模型求解困難，利用壓力離散化、杜哈美原理、Stehfest 數值反演等工具進行了半解析求解。 使得水平井試井參數的快速、準確反演成為可能。

圖5 不同啟動壓力梯度壓力-標準化壓力雙對數曲線

（ 2）通過分析不同井儲系數時稠油油藏水平井冷采壓力響應規律，發現井儲系數越大，壓力導數和壓力曲線分離時間越早， 壓力-標準化壓力水平段越長，標準化壓力第一個峰越不明顯。

（ 3）通過分析不同啟動壓力梯度時稠油油藏水平井冷采壓力響應規律，發現啟動壓力梯度越大，其對壓力-壓力導數曲線后期的影響越明顯， 壓力-壓力導數曲線后期上翹幅度越大， 標準化壓力第二個峰值數值越小。

［ 1］ 孔祥言.高等滲流力學［ M］.合肥：中國科學技術大學出版社，1999：165-166.

［ 2］ Harald Stehfest.Numerical inversion of laplace transforms［ R］.ACM13（ 1）：47-49.

［ 3］ 吳明錄，姚軍，賈維霞.水平井流線數值試井解釋模型及應用［ J］.新疆石油地質，2010，31（ 4）：408-412.

［ 4］ 劉立明，廖新維.油氣兩相壓降數值試井模型及其典型曲線的規律［ J］.石油勘探與開發，2002，29（ 4）：77-80.

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［ 6］ 李樹松，段永剛，陳偉，等.壓裂水平井的試井解釋理論和方法［ J］.油氣井測試，2005，14（ 5）：5-9.