讓思想“生萬物”

蔣培杰

因為比較喜歡讀《道德經》，在進行“三角恒等變換”一章教學備課時我突發奇想：《道德經》里“道生一，一生二，二生三，三生萬物”的辯證法思想似乎可以作為“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”一課的思想基礎……于是，我精心備課后在課堂上實踐了這一想法。

師：今天我們學習“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”，這節內容的學習將會印證《道德經》里的一句話，“道生一，一生二，二生三……”

生：三生萬物！（學生很快應答，并表現出濃厚的興趣）

師：“道”是自然規律，也是我們數學學科的科學思想。具體到我們這節課，同學們知道“一”是什么嗎？（生無應答）“一”就是我們上節課學過的兩角差的余弦公式。（板書：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，記為公式一）。由這個公式我們可以“生”出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式中的其他5個公式。

生：“生”？怎么“生”啊？呵呵……（不少學生說笑著）

師：“生”，就是生長。也就是說，其他5個公式可以在公式一的基礎上生長出來，它們的根是公式一（“描述”數學中的重要思想，即化歸思想）。現在我們來看一下怎樣由公式一“生”出公式二——兩角和的余弦公式。（板書：cos（α+β）=？）

生：公式一的括號里是減，這里是加，加可以改寫成減減！

師：很好！這樣cos（α+β）就寫成cos（α-（-β）），把-β看成一個整體，問題就化歸為公式一啦（直接點出化歸思想）。那cos（α+β）=？

生：cos（α+β）=cos（α-（-β））=cosαcos（-β）+sinα

sin（-β）。

師：正確！不過，括號里有個-β，不夠簡潔，可以化簡嗎？（問題升級）

生：可以啊，誘導公式啊！

cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ！

師：這樣我們就得到了兩角和的余弦公式。（板書：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，記為公式二）。現在想想，公式二是不是公式一“生”出來的？（回顧知識生長的過程；生開心地笑）

師：現在我們來看二怎么“生”三，兩角差的正弦公式。（板書：sin（α-β）=？）

生：這個怎么“生”啊？“生”不出來啊！（知識“生長”的難度加大，生依然在笑，但笑得不輕松）

師：sin（α-β）與cos（α+β）之間有什么聯系？前者能由后者“生”出，說明前者的根在后者上（提示化歸思想），它們之前通過什么手段化為同名三角函數的？（啟發）

生：我知道了，誘導公式，sin（α）=cos（-α）！

師：很好的聯想！這樣一來，sin（α-β）=cos[

-（α-β）]。只是，這與公式二在形式上還是不夠一致啊，怎么“生”呢？（學生啟而不發，思維凝滯）

師：只能改改形式了。（繼續啟發）cos[-（α-β）]里-（α-β）不是可以寫成-α+β嗎？

生：把-α看成一個整體，這樣就是公式二了！cos[-（α-β）]=cos[（-α）+β）]。（生開始覺悟）

師：很好！那進一步呢？

生：cos[（-α）+β）]=cos（-α）cos β-sin（-α）sin β=sin α cos β-sin α sin β。（生思維順暢起來）

師：非常棒！這樣，我們就“生”出了公式三。（板書：sin（α - β）=sin α cos β-cos α sin β，記為公式三）。我們再來回顧一下我們“生”三的過程。“一生二，二生三”，之所以能夠“生”，是因為公式三可以化歸為公式二，公式二可以化歸為公式一，也就是說，公式二和公式三本質上就是公式一。我們要由公式一“生”出公式二和公式三，關鍵是找到公式二和公式三化歸為公式一的“手段”。這種“手段”，在公式一“生”公式二的時候是“將加號寫成減減”，在公式二“生”公式三的時候我們用上了誘導公式。也就是說，我們讓整個“生”長過程進行下去的思想基礎，就是我們數學中的“化歸”思想！現在，我們就運用化歸思想，讓公式三來“生”出“萬物”吧！

生1：sin（α + β）可以寫成sin（α -（- β）），所以sin（α + β）=sin（α -（- β））=sin α cos（- β）-cos α sin（- β）=sin α cos β+cos α sin β。

師：很好，正確！這位同學“生”出了兩角和的正弦公式。（學生開心大笑，并躍躍欲試）

生2：還可以得到tan（α - β）！tan（α - β）===…（學生思維卡殼）

生3：他難產了！（眾大笑，生2自己也笑）

師：思路是對的，的確可以得到tan（α - β）！現在的問題是怎樣化簡？我們要的是tanα和tanβ的形式。那么，怎樣可以得到呢？（“怎樣可以得到”問的是化歸的手段）

生4：因為tanα =，所以可以讓分子分母同時除以cosα。

生5：不好。我認為應該同時除以cosαcosβ，=。

師：兩位同學的思路都是正確的，這樣，我們就可以得到tan（α- β）=。

生：（老師話音剛落）老師，老師，用- β代替β，就是tan（α+ β）=。

師：很棒！這樣一來，兩角和、差的正切公式我們用一節課就都“生”出來了。同學們，接下去我們還可以“生”出很多優美的公式呢，現在你體會到“三生萬物”的道理了嗎？請同學們課后再仔細回顧一下我們“生”萬物的過程，領會數學中的化歸思想。

課后反思：這節課，學生的學習興趣一直比較高漲，學習小高潮不斷涌現。我的體會，以思想為核心，用名言作引領，是這節課教學成功的關鍵。我將《道德經》里的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”這句名言貫穿到了整節課的學習過程中，而這句名言中的辯證法思想恰好又與本節課中“化歸與轉化”的數學思想相契合，辯證法思想加數學思想，為學生揭示了知識生長的過程與方法。

（責編 白聰敏）