栓接結合部遲滯非線性等效線性化方法

李 玲，蔡安江，阮曉光，王戰勝

(1.西安建筑科技大學機電工程學院，陜西西安710055；2.洛陽電光設備研究所，河南洛陽471009)

栓接結合部遲滯非線性等效線性化方法

李 玲1，蔡安江1，阮曉光1，王戰勝2

(1.西安建筑科技大學機電工程學院，陜西西安710055；2.洛陽電光設備研究所，河南洛陽471009)

由于栓接結合部強的非線性特性，要建立和求解這類非線性模型以及實現與其他模型的耦合極為困難。為體現栓接結合部等效非線性特性和便于工程應用，首先將結合面簡化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題，建立單個微凸體力-位移本構關系；然后根據 Masing準則和切向力模型，建立栓接結合部在單個循環周期下的恢復力模型，并假設在穩態激勵和振動幅值很小的情況下，利用平均法建立栓接結合部等效線性化的剛度與阻尼模型。為驗證所建栓接結合部恢復力模型和等效線性化模型的正確性，分別搭建恢復力實驗平臺和模態測試實驗平臺，并利用有限元法將栓接結合部等效線性化模型與有限元模型耦合，建立考慮栓接結合部特性的整體結構動力學模型，最終通過兩組實驗驗證兩類模型的正確性。

栓接結合部；遲滯非線性特性；恢復力模型；等效線性化模型

引 言

在振動環境中，由于機械系統受到外界力、邊界條件和結合面等因素的影響，使得栓接結合部具有強的非線性特性［1］。其主要特征為：在切向可能發生相對滑移；在法向可能發生間隙分離和沖擊碰撞?；菩问郊劝ㄖ话l生在結合部局部區域上的微觀尺度上的滑移，又有結合部整體相對運動的宏觀尺度上的滑動；間隙和碰撞形式也既包括微觀尺度上的拍擊，還有宏觀尺度上的分離碰撞［2］。

為研究這種復雜的非線性行為，2000年美國Sandia國家實驗室在征求知名工程研究人員、學者和項目管理者的建議下發布白皮書［3］，提出采用標準試件開展栓接結合部動力學行為建模和預測方法的研究。之后分別于2006年、2009年和2012年，該研究團隊三次召開國際栓接結合部工作總結和未來研究規劃大會。在會上針對栓接結合部多尺度下的研究路徑圖［4］，各研究小組提出了各自的研究方案和思路，為進一步研究栓接結合部非線性特性開拓了道路。其中，Ahmadian提出建立一種通用連接單元來表示栓接結合部的非線性［5］，并將這種單元引入到結構控制方程中。Segalman［6］發展了一種含有4個參數的Iwan模型以描述栓接結合部的動態特性。Song等［2］提出一種改進的Iwan模型用于模擬栓接結合部隨外載荷非線性變化的粘滑行為。Xue［7］在Bouc-Wen模型的基礎上開發了一種非線性連接部件單元。Oldfield［8］把Iwan模型和Bouc-Wen模型與有限元單元法相結合，對栓接結合部在周期載荷作用下的響應進行了計算。Miller和Quinn［9］提出了一個雙邊的接觸面摩擦能量損耗模型，該模型用兩個Jenkins單元鏈來表示兩個接觸界面。Jalali等［10］利用力狀態映射法將栓接結合部的非線性方程轉化在模態坐標下求解，解決了試驗時難以獲得結合面處的相對位移和力向量。在中國較早開展結合部特性研究的黃玉美團隊，提出了一套系統研究栓接結合部特性參數的試驗裝置及影響因素的處理方法［11-12］。另外，作者近年針對栓接結合部的非線性特性也進行了相關研究［13-14］。

1 恢復力模型

為獲得栓接結合部遲滯非線性特性，設計如圖1(a)所示的連接件。其中，結構件(1)和結構件(2)是通過兩塊壓板(3)與兩個規格相同的螺栓連接在一起。連接件同時受到螺栓預緊力(法向力)和切向力F的作用，其遲滯非線性特性是通過一組線性彈簧和阻尼器進行等效，如圖1(b)所示。

圖1 栓接結合部和等效的線性模型Fig.1 The bolted joints and its mathematical idealization

圖2 為栓接結合部的遲滯曲線。該曲線是在力拉伸試驗機(MTS，INSTRON8801)中，通過設置波形、相位角、激勵頻率、激勵幅值等參數后，進行力拉伸實驗獲得。圖中Fd和Fl分別表示加載和卸載時的恢復力，xmax表示在外加載荷下的極限位移，位移x和恢復力F所圍成的滯回曲線面積恰好是栓接結合部位移變化一周時恢復力所耗能量［15］。

圖2 加載和卸載過程栓接結合部遲滯曲線Fig.2 The hysteresis curves of bolted joints

1.1 單個微凸體受力分析

由于栓接結合部這種遲滯非線性特性來源于微觀接觸表面上無數個微凸體間的相互影響、相互制約和相互依賴［16］。為便于研究，將結合面簡化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題［17-18］，如圖3所示。圖中R表示微凸體的半徑；λn表示結合面的法向位移量，λn=αPmn，Pn為平均表面壓，α和m是由結合面加工方法和材料等決定的常數［19］；z表示兩接觸表面間的平均距離；y表示法向變形量，y=λn-z。

圖3 結合面的接觸變形示意圖Fig.3 The schematic diagram of two contact surfaces with deformation

當微凸體的變形未超出彈性范圍時，根據Hertz接觸理論，可得單個微凸體的法向接觸載荷為

式中 E*為兩接觸材料的復合彈性模量。

其中 E1，E2為兩接觸材料的彈性模量；υ1，υ2為兩接觸材料的泊松比。

而根據文獻［20］，可得單個微凸體的切向接觸載荷為

式中 μ為摩擦系數；x為切向位移；G*為兩接觸材料的復合剪切模量。

其中 G1，G2為兩材料的剪切模量。

實際上，式(1)和(2)分別表示在彈性范圍內，單個微凸體所受法向力、切向力與相應位移變形的關系表達式。

1.2 恢復力模型

根據式(2)單個微凸體的切向力-位移關系可知，當切向變形量

則單個微凸體在彈性范圍內最大受力為Fi=μPi。所以在彈性范圍內兩接觸表面間的最大距離為

根據文獻［21］可得，栓接結合部的切向力F可表示為。

式中 Fsp為微凸體沒有超過最大切向變形極限的切向力；Fsl為微凸體已超出最大切向變形極限的切向力；C為表面參數，與單位面積微凸體的接觸數量有關，取C=1×1010［21］；A0為真實接觸面積。

根據式(2)和(5)，可得切向力Fsp與Fsl的表達式分別為

將式(6)和(7)代入式(5)中，可得栓接結合部的切向力為

將式(8)簡化為

式中 Δ為最大切向變形量。

其中 p為螺栓傳遞扭矩的法向力。

根據Masing準則［22］，整個過程的力-位移變形關系如圖2所示，卸載過程中的恢復力曲線可以通過(x0，F0)表示為

式中 F0為遲滯曲線中位移x0處所受到的力。

聯合式(9)和(12)可得卸載過程恢復力為

Masing準則表明，在加載和卸載過程中，恢復力函數F(x)滿足如下關系

式中 Fd(x)為加載時的恢復力函數。

所以，式(13)和(14)即為栓接結合部加載和卸載過程的恢復力模型。若已知微凸體的真實接觸面積A0、半徑R以及結合面的法向位移量λn，即可獲得栓接結合部的遲滯曲線。

2 線性化方法

為便于工程分析，假設整個過程為穩態激勵，即x=b cosθ=b cosωt，在很小的幅值b和頻率ω下發生切向變形，根據平均法，利用等效線性化剛度和阻尼替代栓接結合部在一個周期中的遲滯非線性關系，即F*(x)=keqx+deqx'。等效剛度keq與等效阻尼deq可通過式(15)和(16)獲得

根據式(14)～(16)之間的關系，可得

將式(13)代入式(17)可得等效線性化剛度

當振動幅值很小(b/Δ?1)時，式(19)可近似表示為

將式(13)代入式(18)可得等效線性化阻尼

同理，當振動幅值很小時，式(21)可近似表示為

式(21)和(22)即為栓接結合部等效線性化剛度和線性化阻尼模型。利用該模型可以將栓接結合部的等效線性化參數與各子結構模型耦合，從而獲得整體結構的動態特性。

3 算 例

3.1 搭建恢復力實驗平臺

本實驗臺主要由INSTRON8801力學拉伸實驗機、動態應變儀BZ2688、LMS模態測試系統、高強度螺栓M16、計算機以及試件(1)與試件(3)等組成。試件(1)與試件(2)結構尺寸相同，間隙為2 mm，試件材料均為Q235，結合面處經過磨削處理。高強度螺栓沿軸向植有應變片，其輸出端連一電橋，通過動態應變儀BZ2688接入LMS信號采集系統，調節螺栓預緊力的大小，可以獲得結合面所受的面壓。INSTRON8801力學拉伸實驗機用于拉壓連接件時，獲取栓接結合部在不同預緊力下的力與位移實驗數據。實驗原理如圖4所示。

圖4 實驗原理Fig.4 Experimental principle

采用位移控制模式，設置波形為正弦波，波形初始相位為0，相位角增量為0，頻率為0.02 Hz。設置螺栓預緊力為20 k N，振幅分別為A1=30μN，A2=50μN，A3=80μN，A4=100μN，穩態激勵方式如圖5所示。在一個循環周期下獲得栓接結合部滯遲曲線如圖6所示。

圖5 正弦波激勵Fig.5 Exciting mode of sinusoidal wave

由圖6可知，在預緊力為20 k N時，遲滯環的面積隨著穩態激勵幅值A的增加而增加，且遲滯環趨于雙線性模型。基于上述實驗條件，獲得不同預緊力下的試驗結果與上述結論類似。故針對栓接結合部的非線性特性，在振動幅值很小時，可以采用線性化的方法將其等效為線性彈簧和阻尼器。從解決實際工程問題出發，將非線性問題線性化后不僅便于工程應用，同時也提高了模型的運算速度。

圖6 不同激振幅值下的力-位移遲滯曲線Fig.6 The force-displacement hysteresis cycles in different vibration amplitudes were tested

根據栓接結合部恢復力實驗結果，以A1=30μN和A3=80μN為例，運用所建立的恢復力模型，對栓接結合部在一個循環周期中的力-位移變形過程進行數值仿真，并與實驗結果比較，結果如圖7所示。圖中實驗與仿真2條曲線基本重合，從而表明所建恢復力模型的正確性，和利用該模型能夠模擬在振動幅值很小時的栓接結合部遲滯非線性特性。

圖7 實驗與仿真結果比較Fig.7 The force-displacement hysteresis cycles were tested and simulated

3.2 等效剛度與等效阻尼的計算

由于試件材料均為Q235，所以取彈性模量E=173 GPa，剪切模量G=44.3 GPa，泊松比υ=0.3，根據復合彈性模量和復合剪切模量公式可得E*和G*；根據文獻［19］附表中的參數，結合面磨削后取α=0.65，m=0.5，所以由λn=αPmn可求取結合面的法向位移變形量λn；根據文獻［21］取C=1×1010，R=100μm，由式(11)可求得結合面的真實接觸面積A0。

當上述參數均已獲取后，根據式(20)和(22)可分別求得栓接結合部等效線性剛度和阻尼值為7.3×107N/m和21.8 N·s/m。則該等效數值可通過有限元軟件將其與試件(1)、試件(2)以及壓板(3)的有限元模型耦合，最終求得整體結構的動力學特性，具體方法下小節所述。

3.3 栓接結合部特性與子結構模型的耦合

為將上述獲得的等效線性剛度和阻尼特性與各試件的有限元模型耦合，建立考慮栓接結合部特性的整體結構有限元模型。首先忽略結構(1)、結構(2)和壓板(3)的螺栓孔，將填充的實體部分等效為螺栓、螺帽和螺栓頭的質量，利用Hypermesh軟件對試件進行網格劃分，并限制結合面處的節點。然后利用ANSYS的APDL語言自行編制程序，采用節點間路徑最短的原則，將結合面上各節點進行連接，并利用Matrix27單元定義栓接結合部的等效剛度和等效阻尼參數，從而建立考慮栓接結合部的整體有限元模型，如圖8所示。由于栓接結合部法向與切向等效剛度與阻尼之間的耦合特性對最終結果影響可以忽略不計［23］，所以在對Matrix27單元進行定義時，將除主對角線以外的參數定義為0。

圖8 整體有限元模型Fig.8 Finite model of whole structure

根據栓接結合部在不同預緊力下的等效參數值，利用圖8所建立的整體結構有限元模型進行諧響應分析，最終獲得不同預緊力下整體結構的頻響函數，通過下小節的實驗可驗證所建模型的正確性。

3.4 實驗驗證

搭建整體結構模態測試實驗平臺，獲取整體結構的頻響函數，實驗原理如圖9所示。以錘擊法作為激振方式，以加速度傳感器在指定的位置上獲取加速度信號作為輸出信號。實驗以先粗掃頻后細掃頻的方式進行，在搜索結構固有頻率時采用粗掃頻方式，大致確定結構固有頻率的大小后，再通過細掃頻方式確定固有頻率的精確值，根據上述方法選取的頻率范圍為0～1 800 Hz，頻率采樣為2 Hz。

模態實驗時所采用的激振點與拾取點如圖10所示。在z方向上，點1和點2互為激振與拾取點，通過力錘的激振和加速度傳感器的獲取，可得原點頻響函數H(1，1)，H(2，2)和跨點頻響函數H(1，2)，H(2，1)。由于模型的對稱性，可根據Maxwell互易性原理，通過跨點頻響函數H(1，2)和H(2，1)驗證試驗方法的正確性。

圖9 模態實驗原理Fig.9 Experimental principle of modal characteristics

圖10 模態實驗時激振點的設置Fig.10 Modal test using electrodynamic shaker in three directions of z

根據3.3節所建立的考慮栓接結合部特性的整體結構有限元模型進行諧響應分析，和本節對整體結構的模態試驗，比較兩種不同方法獲得的頻響函數，驗證所建立的線性化模型正確性。實驗與仿真結果如圖11和12所示。

圖11 z方向上模態實驗與有限元方法結果比較(頻響函數(H(1，1))Fig.11 Compare experimental and paper's method for FRFH(1，1)of whole structure in directions of z

圖12 z方向上模態實驗與有限元方法結果比較(頻響函數(H(1，2))Fig.12 Compare experimental and paper's method for FRFs H(1，2)of whole structure in directions of z

圖11 和12是z方向上頻響函數H(1，1)和H(1，2)的模態實驗值與有限元仿真結果比較。兩圖表明，將栓接結合部等效線性化的剛度與阻尼值利用Matrix27單元嵌入整體結構中所獲得的頻響函數與模態實驗所得的頻響函數基本一致。通過模態實驗獲得的前兩階固有頻率分別為598和1344 Hz；有限元仿真出來的結果為610.2和1 365 Hz，以模態實驗數據為準確值，則前兩階誤差分別為0.37%和1.56%，均未超過5%，從而表明，在小振幅下栓接結合部非線性特性完全可以進行線性化處理。

4 結 論

(1)將結合面的非線性問題轉化為光滑剛性平面與粗糙表面的接觸問題，建立單個微凸體力-位移本構關系，根據Masing準則和切向力模型，建立栓接結合部在一個循環周期下的加載和卸載恢復力模型，并通過搭建恢復力實驗平臺驗證所建恢復力模型的正確性。

(2)假設結構在穩態激勵和振動幅值較小的情況下工作，利用平均法建立栓接結合部等效線性化的剛度與阻尼模型，并利用有限元法將該線性化參數與各子結構有限元模型耦合，建立考慮栓接結合部特性的整體結構動力學模型，通過模態實驗研究前兩階的固有頻率，最大誤差為1.56%，從而表明所用方法和所建模型的正確性。

(3)由于栓接結合部非線性動力學行為極其復雜，沒有專門的分析工具，也沒有通用性很強的有限元軟件對整體結構的動態特性進行分析。將此類非線性問題線性化，并嵌入現有商業有限元軟件中進行整體結構動力學特性分析，是解決工程問題的一種高效可行的研究方法。

［1］IBRAHIMR A，PETTIT C L.Uncertainties and dynamic problems of bolted joints and other fasteners［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，279：857—936.

［2］SONG Y.Modeling，identification and simulation of dynamics of structures with joints and interfaces［D］.USA：Ph.D.dissertation，University of Illinois at Urbana-Champaign，2004.

［3］DOHNER J L.White paper：on the development of methodologies for constructing predictive models of structures with joints and interfaces［D］.Sandia National Laboratories，2001，SAND2001：1—14.

［4］SEGALMAN D J，BERGMAN L A，EWINS D J.Report on the SNL/NSFinternational workshop on joint mechanics［D］.Sandia National Laboratories，2006，1—12(SAND2006).

［5］AHMADIAN H，JALALI H.Generic element formulation for modelling bolted lap joints［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21：2 318—2 334.

［6］SEGALMAN D J.Afour-parameter Iwan Model for lap-type joints［J］.Transactions of the American Society of Mechanical Engineers Journal of Applied Mechanics，2005，72：752—760.

［7］XUE Y.Developments of joint elements and solution algorithms for dynamic analysis of jointed structures［D］.USA：Ph.D.Dissertation，University of Colorado Department of Aerospace Engineering Sciences，2002.

［8］OLDFIELD M，OUYANG H，MOTTERSHEAD J E.Simplified models of bolted joints under harmonic loading［J］.Computers and Structures，2005，84：25—33.

［9］MILLER J D，QUINN D D.Atwo-sided interface model for dissipation in structural systems with frictional joints［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，321(1)：201—219.

［10］JALALI H，AHMADIAN H，MOTTERSHEAD J E.Identification of nonlinear bolted lap-joint parameters by force-state mapping［J］.International Journal of Solids and Structures，2007，44(25/26)：8 087—8 105.

［11］FU Weiping，HUANG Yumei，ZHANG Xueliang，et al.Experimental investigation of dynamic normal characteristics of machined joint surfaces［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2000，122(4)：393—398.

［12］劉耀，黃玉美.機床滾珠導軌中圓柱面-球面結合面靜特性分析及試驗研究［J］.機械工程學報，2013，49(21)：25—30.LIU Yao，HUANG Yumei.Theoretical analysis and experimental study on static characteristics of the cylindrical-spherical joint surfaces of linear ball guide on machine tool［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2013，49(21)：25—30.

［13］蔡力鋼，李玲，郭鐵能，等.基于力狀態映射法辨識非線性結合部動態參數［J］.機械工程學報，2011，47(7)：65—72.CAI Ligang，LI Ling，GUO Tieneng，et al.Identification of nonlinear joint parameters with force-state mapping method［J］.Journal of Mechanical Engineering.2011，47(7)：65—72.

［14］李玲，蔡安江，蔡力鋼，等.基于Bouc-Wen模型辨識結合面動態特性研究［J］.振動與沖擊，2013，32(20)：139—144.LI Ling，CAI Anjiang，CAI Ligang，et al.Dynamic characteristics identification of joint interfaces based on a Bouc-Wen model［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(20)：139—144.

［15］胡海巖，王在華.論遲滯與時滯［J］.力學學報，2010，42(4)：740—746.HU Haiyan，WANG Zaihua.On hysteresis and retardation［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，42(4)：740—746.

［16］葛世榮，朱華.摩擦學的分形［M］.北京：機械工業出版社，2005.GE Shirong，ZHU Hua.Fractal in Tribology［M］.Beijing：China Mechine Press，2005.

［17］WANG S，KOMVOPOULOS K.Afractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime：part II-multiple domains，elastoplastic contacts and applications［J］.Journal of Tribology，Transcations of ASME，1994，116(4)：824—832.

［18］WANG S，KOMVOPOULOS K.Afractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime：Part I-elastic contact and heat transfer analysis［J］.Journal of Tribology，Transcations of ASME，1994，116(4)：812—822.

［19］廖伯瑜，周新民，尹志宏.現代機械動力學及其工程應用［M］.北京：機械工業出版社，2004.LIAO Baiyu，ZHOU Xingmin，YIN Zhihong.Modern machine Dynamics and Application［M］.Beijing：China Mechine Press，2004.

［20］MINDLIN R D，DERESIEWICZ H.Elastic spheres in contact under varying oblique forces［J］.Journal of Applied Mechanics，1953，20(3)：327—344.

［21］OLOFSSON U.Cyclic micro-slip under unlubricated conditions［J］.Tribology International，1995，28：207—217.

［22］SEGALMAN D J，STARR MJ.Inversion of Masing models via continuous Iwan systems［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2008，43：74—80.

［23］YANG T，FAN HS，LIN S C.Joint stiffness identification using FRFmeasurements［J］.Computers and Structures，2003，81：2 549—2 556.

［24］GUO Tieneng，LI Ling，CAI Ligang，et al.Alternative method for identification of the dynamic properties of bolted joints［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2012，26(10)：3 017—3 027.

Equivalent linear method for hysteresis nonlinear of bolted joints

LI Ling1，CAI An-jiang1，RUAN Xiao-guang1，WANG Zhan-sheng2
(1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Xi'an University of Architecture Technology，Xi'an 710055，China；2.Luoyang Institute of Electro-optical Devices，Luoyang 471009，China)

Within engineering application，the modeling and the solution of the bolted joint are very difficult for its strongly nonlinear characteristics and its coupling with other models.In order to facility engineering application，the contact of two rough surfaces of bolted joints can be modeled by a flat，smooth surface in contact with a rough surface in the first place.Secondly，the restoring force model of bolted joints is demonstrated through Masing hypothesis and the force-displacement relationship of bolted joints.Then，suppose that the bolted joints under the condition of the stability excitation and the small vibration amplitude，we obtain the equivalent linearization stiffness and damping model of bolted joints applying the method of averaging.Finally，the laboratorial platform of modal testing and restoring force are established，and the whole structure model is obtained by the equivalent linearization model of bolted joints coupled with finite element model with finite element method.During a cyclic displacement the theoretical model shows good agreement with experimental results.

bolted joints；hysteresis nonlinear characteristics；restoring force model；equivalent linearization models

TH113.1；O322

A

1004-4523(2015)04-560-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.008

李玲(1981—)，男，博士，副教授。電話：13468655809；E-mail：lee_liling@163.com

2014-04-01；

2015-03-12

國家自然科學基金資助項目(51305327，51475352)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20136120120020)和陜西省教育廳科研計劃項目資助(2013JK1033)