農夫與魔鬼

葉軍

很久以前，有一名農夫不滿于自己的辛苦和貧困，非常羨慕富有的人。一天，他正在抱怨上天對自己不公平，一個魔鬼出現在他的眼前，對農夫說：“我可以幫助你，看到前面那座橋了嗎，你只要從橋上每走一次，你口袋里的錢就會增加一倍。但每次你也要付給我24英鎊，你說如何？”農夫看了看自己口袋里的錢，不假思索地說：“每次給你24英鎊，這算不了什么，我們開始吧！”可是農夫發現自己走了三次以后，他口袋里的錢已經付光了。問農夫身上原有多少錢？

分析1：反過來思考。第三次過橋前只有12英鎊；第二次過橋前有（12+24） 2=18英鎊；第一次過橋前有（18+24） 2=21英鎊。即農夫身上原有21英鎊。

分析2：用方程求解。設原有x英鎊，則2[2（2x—24）—24] —24=0，解出x=21.

這個故事給我們的啟示是：人不要貪得無厭，對他人的建議，不要盲目接受，要開動智慧，進行甄別，否則會造成失誤。

這里有一個問題，值得同學們深入思考一下：①農夫身上的錢為何越來越少？②農夫身上有多少錢時，才能如愿以償？③有沒有介于中間的狀態，即不賺也不虧？

我們用 表示第n次交易（“一次交易”就是：過一次橋，再給魔鬼24英鎊）后農夫剩下的錢數， 表示原有的錢數，a表示每次付出的錢數，根據題意，

可能以上的討論看起來繁瑣，我們把它體現在圖形上會一目了然。由于 =2 -a，我們把 看作自變量，把 看作 的函數，在平面上就是直線y=2x-a.如圖，對于a右邊的點（ >a），每次把 作為新的自變量得到 ，在圖形中體現為不斷向上的折線（請根據折線箭頭的走向看圖），表示 不斷變大；類似地，

有了上面的討論，我們開始提出的3個問題就很容易了，你能自己寫出答案嗎？

一次函數可以還可以解決如此有趣的問題，這是在課堂上始料未及的事情，“冰冷”的課堂知識，只要融入了有價值的思考，立刻就變得豐富、生動、有趣，這也是我們保持學習興趣的秘訣之一。

類似于 =a +b（a、b是常數，且a≠0）的式子叫做“遞歸數列”，因為它反映的是序列{ }中前后兩個數之間的關系：每個數都依賴于前面的數進行變化。線性遞歸是遞歸函數中的一種，它要求變量之間是一種“線性關系”。我們知道，所謂“線性”，就是一次式（想想“一次函數”的英文名是linear equation with one unknown，即“含有一個未知數的線性方程”），在本例中，我們涉及的是“一階線性遞歸數列”，它可以用直線進行模擬，由于每次迭代都是把 作為新的自變量代入求值，因此直線y=x的作用就是提供這種代換——用 取代 的位置，從而計算 。我們很容易從圖形看出序列{ }的增減性與初始值之間的關系。

現代數學中的一個分支：分形和混沌理論，就和迭代有著密不可分的聯系。希望你好好學習，不久的將來就可以接觸這些知識，用更高的眼光觀察周圍的世界。