生活中的一次函數應用

趙黎明

一次函數是初中數學的核心內容，也是重要的基礎知識和重要的數學思想，與生活中的實際問題有著極為廣泛的聯系，是聯系數學知識與實際問題間的紐帶和橋梁，也是中考數學試卷中不可缺少的重要內容.解決這類問題的關鍵是在理解題意、分析數量關系的基礎上，正確找出已知量與未知量間的相等關系，把生活中的語言轉化為代數式，從而建立數學模型.

一、分段計費問題

例1 某市為了鼓勵居民節約用水，采用分段計費的方法按月計算每戶家庭的水費，月用水量不超過20 m3時，按2元/ m3計費；月用水量超過20 m3時，其中的20 m3仍按2元/ m3收費，超過部分按2.6元/ m3計費.設每戶家庭用水量為x立方米時，應交水費y元.

（1）分別求出 和 時， 與 的函數表達式；

（2）小明家第二季度交納水費的情況如下：

小明家這個季度共用水多少m3？

答：小明家這個季度共用水53m3.

【點評】收費問題與我們的生活息息相關，如水費問題、電費問題、話費問題等，這些收費問題往往根據不同的用量，采用不同的收費方式.以收費為題材的數學問題多以分段函數的形式出現在中考試題中，解答時需分段討論.

二、方案選擇問題

例2 有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標準如圖1所示；乙公司每月通話收費標準如表1所示.

（1）觀察圖1，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是 元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為 元；

（2）李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？

【解析】（1）當0≤t≤100時，話費金額y=20；當t>100時，利用待定系數法求函數表達式得y=0.2t， 從而得出，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是20元；當甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為0.2元；

【點評】方案選擇問題是我們生活中常遇到的問題，人們要對各種方案有所選擇和決策.本題是通過觀察圖像和表格中的信息，構建一次函數的數學模型，同時又與一元一次方程和一元一次不等式相結合解決問題.

三、行程問題

例3 從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明騎車從甲地出發，到達乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時間，假設小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進.已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設小明出發x h后，到達離甲地y km的地方，圖中的折線OABCDE表示y與x之間的函數關系.

（1）小明騎車在平路上的速度為 km/h；他途中休息了 h；

（2）求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數關系式；

（3）如果小明兩次經過途中某一地點的時間間隔為0.15h，那么該地點離甲地多遠？

【解析】（1）由速度=路程÷時間就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的時間，進而得出途中休息的時間；

【點評】行程問題是一個常規的問題，而新課下的行程問題，與原來行程問題的應用題完全不同，往往與圖像、圖形、表格等結合在一起，不僅考查學生的數學知識，而且考查學生的識圖能力和數形結合的數學思想. 本題考查了行程問題的數量關系的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，一元一次方程的運用，解答時根據題意結合圖象說出其圖象表示的實際意義，求出一次函數的解析式是關鍵.

小試身手

1. 為了慶祝商都正式營業，商都推出了兩種購物方案.方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優惠，方案二：如交納300元會費成為該商都會員，則所有商品價格可獲九折優惠.

（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關于x的函數解析式；

（2）若某人計劃在商都購買價格為5880元的電視機一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？

2.星期天，小強騎自行車到郊外與同學一起游玩，從家出發2小時到達目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，小強離家4小時40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強，如圖，是他們離家的路程y（千米）與時間x（時）的函數圖像.已知小強騎車的速度為15千米/時，媽媽駕車的速度為60千米/時.

（1）小強家與游玩地的距離是多少？

（2）媽媽出發多長時間與小強相遇？