一次函數與方案設計問題探究

吳克

一次函數是最基本的函數，它與一次方程、一次不等式有密切聯系，在實際生活中有廣泛的應用。尤其利用一次函數的增減性等有關知識可以在某些經濟活動中的方案設計和選擇提供幫助，作出最佳的決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中也時常出現這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能。下面以幾道中考題為例說明一次函數在中考中的重大作用.

一、分配方案的設計

例1.（2011四川攀枝花）某經營世界著名品牌的總公司，在我市有甲、乙兩家分公司，這兩家公司都銷售香水和護膚品.總公司現香水70瓶，護膚品30瓶，分配給甲、乙兩家分公司，其中40瓶給甲公司，60瓶給乙公司，且都能賣完，兩公司的利潤（元）如下表.

（1）假設總公司分配給甲公司x瓶香水，求：甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數關系式；

（2）在（1）的條件下，甲公司的利潤會不會比乙公司的利潤高？并說明理由；

（3）若總公司要求總利潤不低于17370元，請問有多少種不同的分配方案，并將各種方案設計出來.

考點：一次函數的應用.

專題：函數思想.

分析：（1）設總公司分配給甲公司x瓶香水，用x表示出分配給甲公司的護膚品瓶數、乙公司的香水和護膚品瓶數，根據已知列出函數關系式.（2）根據（1）計算出甲、乙公司的利潤進行比較說明.（3）由已知求出x的取值范圍，通過計算得出幾種不同的方案.

（1）設A型汽車安排 輛，B 型汽車安排 輛，求 與 之間的函數關系式.

（2）如果三種型號的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案.

（3）為節約運費，應采用（2）中哪種方案？并求出最少運費.

考點：一次函數的應用；一元一次不等式組的應用.

專題：優選方案問題.

分析：（1）利用三種汽車一共運輸120噸山貨可以得到函數關系式；

（2）利用三種汽車都不少于4輛，可以得到有關x的不等式組，利用解得的不等式組的解得到安排方案即可；（3）根據題意得到總運費與自變量x的函數關系式，求得其最值即可.

答：為節約運費，應采用 ⑵中方案一，最少運費為37100元。

點評：本題考查的是用一次函數解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題.注意利用一次函數求最值時，關鍵是應用一次函數的性質；即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值.

三、營銷方案的設計

（1）、若全部資金用來購買彩電和洗衣機共100臺，問商店可以購買彩電和洗衣機各多少臺？

（2）、若在現有資金160000元允許的范圍內，購買上表中三類家電共100臺，其中彩電臺數和冰箱臺數相同，且購買洗衣機的臺數不超過購買彩電的臺數，請你算一算有幾種進貨方案？哪種進貨方案能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大？并求出最大利潤.（利潤=售價-進價）

考點：一次函數的應用.

專題：優選方案問題.

分析：（1）根據題意商店購買彩電x臺，則購買洗衣機（100﹣x）臺，列出一元一次方程，解方程即可得出答案；

解答：（1）設商店購買彩電x臺，則購買洗衣機（100﹣x）臺.

點評：本題主要考查了一次函數的實際應用，解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義.

四、優惠方案的設計

例4.（2013·遂寧）四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在我市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務.為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商.經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元.經洽談協商：A公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費.另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的函數關系式；

（2）問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由.

考點：一次函數的應用.

專題：方案選擇問題.

分析：（1）根據總費用=男生的人數×男生每套的價格+女生的人數×女生每套的價格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數x之間的函數關系式；

根據條件可以知道購買服裝的費用受x的變化而變化，分情況討論，當y1>y2時，當y1=y2時，當y1

點評：本題考查了根據條件求一次函數的解析式的運用，運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據數量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優惠方案是難點.

五、進貨方案設計

例5.（2013年貴州黔東南）某校校園超市老板到批發中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進貨單價是甲品牌進貨單價的2倍，考慮各種因素，預計購進乙品牌文具盒的數量y（個）與甲品牌文具盒的數量x（個）之間的函數關系如圖所示.當購進的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個時，購進甲、乙品牌文具盒共需7200元.

（1）根據圖象，求y與x之間的函數關系式；

（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價；

（3）若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據學生需求，超市老板決定，準備用不超過6300元購進甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1795元，問該超市有幾種進貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？

考點：一次函數的應用.

專題：方案選擇問題。

分析：（1）根據函數圖象由待定系數法就可以直接求出y與x之間的函數關系式；

（2）設甲品牌進貨單價是a元，則乙品牌的進貨單價是2a元，根據購進甲品牌文具盒120個可以求出乙品牌的文具盒的個數，由共需7200元為等量關系建立方程求出其解即可；

點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，列一元一次方程列一元一次不等式組解實際問題的運用，解答時求出第一問的解析式是解答后面問題的關鍵.

綜上所述，利用一次函數的圖象、性質及不等式的整數解與方程的有關知識解決了實際生活中許多的方案設計問題，如果同學們能切實理解和掌握這方面的知識與應用，對解決方案問題的數學題是很有效的.