Sylvester定理的應(yīng)用

曾慶怡（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ，廣東 韶關(guān)512005）

Sylvester定理的應(yīng)用

曾慶怡
（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 ，廣東 韶關(guān)512005）

摘要：結(jié)合高等代數(shù)專題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和近年高等代數(shù)的考研真題，總結(jié)了利用矩陣的Sy1vester定理來(lái)解決有關(guān)矩陣特征值和行列式問(wèn)題的方法，供相關(guān)人員參考.

關(guān)鍵詞：Sy1vester定理；特征值；行列式

在高等代數(shù)考研中，矩陣的特征值和特征向量以及行列式計(jì)算越來(lái)越重要，有些試題要么用常規(guī)方法來(lái)解決計(jì)算量會(huì)很大，要么就無(wú)從下手.本文使用矩陣的Sy1vester定理來(lái)解決這兩類問(wèn)題.

Sy1vester定理［1］：設(shè)A是數(shù)域F上的m×n矩陣，B是n×m矩陣，m≥n，AB的特征多項(xiàng)式是fAB（λ），BA的特征多項(xiàng)式是fBA（λ），則有：

這里Em表示m階單位矩陣.該定理表明對(duì)數(shù)域F上的任意矩陣A，B，AB和BA有相同的非零特征值；特別地，如果m=n，則有|λE-AB|=|λE-BA|，即AB與BA有完全相同的特征值（特征向量未必相同!）.

1　求矩陣的特征值

設(shè)A是n階矩陣，如果A能夠分解為兩個(gè)矩陣B，C的乘積，A=BC，且CB特征值容易求出時(shí)，可以考慮使用Sy1vester定理.特別地，如果矩陣A的秩r（A）≤2，則A的特征值很容易求出.

如果矩陣A可以表示為kE±BC的形式，其中r（BC）≤2，則矩陣BC的特征值可以使用Sy1vester定理求出，進(jìn)而求出A的特征值.

例1設(shè)b=（b1，b2，…bn）T是n維非零向量，求矩陣：

的特征值和特征向量.［中南大學(xué)，2002］.

解因?yàn)锳的任意3階子式全是零，所以r（A）=2.于是：

當(dāng)λ=0時(shí)，由于r（A）=2，AX=0有n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即為A的屬于特征值0的特征向量.因?yàn)閎為非零向量，存在bi≠0.于是AX=O與下面方程組同解：

取x2，x3，...，xn+1為自由未知量，依次令x2，x3，...，xn+1為bi，其余為0，可得A的屬于特征值0的特征向量：

例2設(shè)α，β是歐氏空間Rn的兩個(gè)正交列向量，且|α|=|β|=2.設(shè)En為n階單位矩陣，A=En+ααT+ββT，求A的特征多項(xiàng)式.［蘇州大學(xué)，2007］

解因?yàn)椋?/p>

其中B=（α，β）是n×2矩陣，C=BT，且CB=4E2,由Sylvester定理有：

例3設(shè)α，β是n維列歐氏空間Rn的兩個(gè)正交的單位向量.證明矩陣A=αβT+βαT相似于對(duì)角矩陣diag（1，-1，0，...，0）.［燕山大學(xué)，2012］.

證令B=（α，β），C=（β，α）T則B，C分別為n×2，2×n矩陣.由于α，β正交，α，β線性無(wú)關(guān)，從而r（B）=r（C）=2.因?yàn)锳=BC，由Sy1vester定理有：

即A的特征值是λ1=1，λ2=-1，λ3=...=λn=0.因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，A可對(duì)角化，從而A相似于對(duì)角矩陣diag（1，-1，0，...，0）.

例4證明下列矩陣是半正定矩陣：

證A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且A=nE-B其中B是元素全是1的n階矩陣.令α=（1，1…，1），則B=αTα.設(shè)λ 是A的任意特征值，則由Sy1vester定理有：

于是A的特征值是n-1重根n和一重根0，因此A是半正定的.

2　計(jì)算矩陣的行列式

使用Sy1vester定理可以計(jì)算這樣的行列式，該型行列式可以寫(xiě)成數(shù)量矩陣kE與兩個(gè)秩為2或1的矩陣乘積的和，這種行列式使用Sy1vester定理計(jì)算.另外kE可以換成可逆的對(duì)角矩陣.

例5計(jì)算以下行列式：

解該行列式的矩陣可以寫(xiě)成單位矩陣和秩為2的矩陣的和.令：

由Sy1vester定理，有：

例6計(jì)算以下行列式：

解令A(yù)=diag（x1，x2，…，xn），α=（a1，a2，…，an），則A可逆，且Dn=|A+αTα|=|A||E-（-A-1）αTα|.由Sy1vester定理有：

參考文獻(xiàn)：

［1］毛綱源.線性代數(shù)解題方法和技巧［M］.長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，1987.

［2］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號(hào)：O153

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1OO7-5348（2O15）12-OOO5-O3

［收稿日期］2015-06-19

［作者簡(jiǎn)介］曾慶怡（1967-），男，湖南邵陽(yáng)人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，博士；研究方向：環(huán)與模范疇.

APPlications of Sylvester Theorem

ZENG Qing-yi
（Schoo1 of Mathematics and Statistic，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

Abstract：In this PaPer，combining with the author's exPerience in advanced a1gebra teaching and entrance examination of graduate students of advanced a1gebra，some methods of aPP1ications of Sy1vester theorem in ca1cu-1ations of eigenva1ue of matrix and of determinants have been given.

Key words：Sy1vester theorem；eigenva1ues；determinants