平面直角坐標系中數形結合思想之巧用

薛朝暉

數形結合思想，是研究數學的一種重要的思想方法，巧用平面直角坐標系能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解.

一、 巧用平面直角坐標系于解不等式

例1 解不等式

【評析】 此題直接求解要分x>0，x<0兩種情況去求解.學生易把x的取值當成大于零來去分母，原不等式變形為 ，顯然結果會求錯取值范圍.建立平面直角坐標系，設 求得雙曲線與直線的交點坐標.利用兩個函數圖像的高低關系求得不等式的解.

【解】 設 畫出函數的圖像，如圖1，令 ，化為 ， ，得 .從而可得兩個圖像的交點坐標為（1，3），（-3，-1）.觀察圖像，應使y1的圖像高于y2的圖像，當0

二、 直角坐標系用于軸對稱中

例2 已知點A（﹣1，2）和B（﹣2，﹣1），試在y軸上找一點P，使得PA+PB最小，并求出點P的坐標.

【評析】 要求點P的坐標，只要找點A關于y軸的對稱點A'，連結A'B交y軸于點P，大部分學生知道方法，但在求解點P坐標時方法太繁，易求錯.采用一次函數可快速高效解決問題.

【解】 如圖2，作點A關于y軸的對稱點A'，連結A'B交y軸于點P，此時PA+PB最小。設直線A'B為y=kx+b（k≠0）.因為點A（﹣1，2）與點A'關于y軸對稱，所以A'（1，2），將A'和B的坐標代入解析式，解得k=1，b=1.所以解析式為y=x+1，當x=0時，y=1，所以P（0，1）.

三、 巧用直角坐標系求線段的長

例3 已知正方形的邊長為1，（1）如圖3（a），可以計算出正方形的對角線長為 ，如圖2（b），求兩個正方形并列排成的矩形對角線的長，n個呢？（2）若把圖2（c）、（d）兩圖拼成如圖4的“L”形，過點C作直線交DE于A，交DF于B，若DB= ，求DA的長度.

【評析】（1）略.（2）對于八年級學生來講，沒有學習相似，難以下手.本題巧妙建立平面直角系，求AD就易如反掌了，以點D為原點，AD所在直線為x軸，BD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，就可以用一次函數的知識來解決.

【解】以點D為原點，DE所在直線為x軸，DF所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖4，可得B（0， ）， C（1，﹣1）.設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、C的坐標代入，解得k= ，b= 所以y= x .當y=0時， x- =0，得x= ，所以A（﹣ ，0），得AD= .

例4 在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN（如圖5），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30?，且與A相距40km的B處；經過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60?，且與A相距 km的C處.

（1） 求該輪船航行的速度（結果保留根號）；

（2） 如果該輪船不改變航向繼續航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由.

【評析】（1）略.（2）過點B、C兩點分別作BD⊥直線l于D，CE⊥直線l于E，則可得AD=20km，BD=20 km，CE=4 km，AE=12km。大多數學生采用相似解決問題。可以利用△FCE∽△FBD，從而求得EF的長.但是在尋找相似三角形時，易搞錯對應邊，從而求錯。還有部分同學求得的EF長誤以為是AF的長，導致失分.因此，建立如圖5所示平面直角坐標系，則B（-20，20 ），C（12，4 ）。直線BC交x軸于F，要求AF的長，只要求得直線BC的解析式，然后求得直線與x軸交點的橫坐標，從而求得AF的長。

【解】建立如圖5所示的平面直角坐標系，則B（-20，20 ），C（12，4 ）.

設直線BC為y=kx+b（k≠0），將B、C坐標代入，解得直線BC的解析式為y= x+10 .當y=0時， x+10 =0，得x=20.所以AF=20.可見AM

解決這類問題的關鍵在于抓住題設圖形、分析已知條件，從幾何圖形的結構中尋求建立函數關系式所需要的數量關系，巧建平面直角坐標系能只用幾筆簡捷的線條就可以表達出需要“長篇大論”的證明所表達的變化規律.

在初中數學中，由于平面直角坐標系的引入，架起了數與形之間的橋梁，使得我們可以用幾何的方法研究代數問題，又可以用代數的方法研究幾何問題.平面直角坐標系加強了數與形之間的聯系，它是解決數學問題的一個強有力的工具.