平面直角坐標系概念解讀

我們已經學過數軸，我們能夠很容易的把一些點在數軸上表示出來，也能夠把數軸上的點表示出來.

如圖，要在數軸上表示-1，則找到點A，而點B則表示3，那么我們怎么表示點C的位置呢？點C不在數軸上，這就給我們帶來了困難.

一、定物體的位置

在生活中我們是怎樣來表示物體的位置的呢？

（1） 經緯表示

這個方法用得非常廣泛，同學們很容易想到我們地理中的經緯表示方法，根據經緯度，我們就能準確的找到相應的位置.我們熟悉的GPS導航就是這種方法.

如：南京的位置在東經：118°46' 北緯：32°03'處.

（2） 方位角表示

如圖，我們知道點P在點O的南偏東60°方向上，如果線段OP的長度是5米，我們就可以把點P的位置記作在點O的南偏東60°方向5米處.

（3） 行列表示

行列表示法經常被我們用來表示平面上的位置關系.我們需要兩個獨立的數據來表示，這樣的兩個數據，我們可以稱之為有序實數對.生活中這樣的例子很多.

比如，我們怎樣向別人介紹自己的座位呢？我們可以說在第4列，第3排，用（4，3）表示.又比如電影院表示座位的5排11座可以用（5，11）表示.

二、坐標系

平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系.

1、相關概念

水平方向的數軸稱為x軸或橫軸，豎直方向的數軸稱為y軸或縱軸，它們統稱為坐標軸.兩條坐標軸的公共原點稱為坐標原點，通常記為O.我們可以看出x軸和y軸將平面分成的4個區域，這4個區域稱為象限，按逆時針順序分別記為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.但必須注意，坐標軸上的點不屬于任何象限.

2、點的坐標

在直角坐標系中，由一對有序實數（a，b），可以確定一個點P的位置，這樣的有序實數對叫做點的坐標.

過x軸上表示實數a的點畫x軸的垂線，過y軸上表示實數b的點畫y軸的垂線，這兩條垂線的交點，即為點P.

下圖中點P的坐標為（a，b），其中a稱為點P的橫坐標，b稱為點P的縱坐標，橫坐標應寫在縱坐標的前面.

點的坐標通常與表示該點的大寫字母寫在一起，如P（a，b）.

任意一點的位置都可以用一對有序實數表示.

如果點Q是直角坐標系中一點，我們可以用一對相應的有序實數對來表示，如上圖中點Q的位置可以知道它的坐標為（m，n）.

我們要注意的是，有序實數對（a，b）和（b，a）雖然數字一樣，但由于字母順序不同，所以他們在坐標系當中是兩個不同的點.

3、點的坐標規律總結

在直角坐標系中，如果點P的坐標為（a，b）.

（1）點的坐標與到坐標軸距離的關系

點P（a，b）到x軸的距離為

| b |，到y軸的距離為|a|.

（2）在各象限中

點P在第一象限中，則a>0，b>0.

點P在第二象限中，則a<0，b>0.

點P在第三象限中，則a<0，b<0.

點P在第四象限中，則a>0，b<0.

反之也成立.

（3）在坐標軸上

點P在x軸上，則n=0.

點P在y軸上，則m=0.

反之也成立.

（4）對稱點

點P（a，b）關于x軸對稱的點的坐標為（a，-b）；

點P（a，b）關于y軸對稱的點的坐標為（-a， b）；

點P（a，b）關于坐標原點對稱的點的坐標為（-a，-b）.

（5）點在坐標軸角平分線上

點P（a，b）在第一、第三象限角平分線上，則a=b；

點P（a，b）在第二、第四象限角平分線上，則a=-b（或a+b=0）

例：已知 P 點坐標為（2 a+4，a-3），

（1） 點 P 在 x 軸上，則a=___________；

（2） 點 P 在 y 軸上，則a=___________.

解析：（1） P 在 x 軸上，所以縱坐標為0，即a-3=0，a=3.

（ 2 ） P 在 y 軸上，所以橫坐標為0，即2 a+4=0，a=-2.