帶p-Laplaian算子的四階微分方程邊值問題正解的存在性

黃明輝

（廣州華夏職業學院基礎部，廣東廣州510935）

帶p-Laplaian算子的四階微分方程邊值問題正解的存在性

黃明輝

（廣州華夏職業學院基礎部，廣東廣州510935）

摘要：研究一類帶p-Laplacian的四階微分方程，運用范數形式的錐拉伸與錐壓縮不動點定理方法證明了該方程解的存在性.在允許a(t)在端點處存在奇異的情況下，給出了該方程在特定區間內存在至少一個或兩個正解的充分條件，其中正解的存在區間依賴于參數 λ＞0.

關鍵詞：不動點定理；存在區間；正解；p-Laplacian算子

考慮如下邊值問題：

其中?p(s)＝s|s|p-2，p＞1，s∈R，λ＞0是一個參數［1-3］.對于邊值問題(1)，令?p(u″(t))=v(t)，t∈(0,1)，u(0)=u(1)=0，作積分算子S∶C(I)→C(I)，則有：

于是，邊值問題(1)可變為：

其中，g(t,v(t))=f(t,(sv)(t),?q(v(t))).

若邊值問題(3)存在一個解，由u(t)=(sv)(t)=(t,s)?q(v(s))ds知，邊值問題(1)也存在一個解.

對Banach空間X=C+［0，1］，定義其中的范數為.對于自然數m≥3，記：

對于r＞0，記Ωr={u∈Km‖v(t)‖＜r}，?Ωr={v∈Km‖v(t)‖=r}.顯然，Km為非負連續泛函C+［0,1］的子錐［7-10］.

1　相關引理

本文使用以下條件：

(H1)g(s,v(s))∈C+［0,+∞)并且存在tn→0，使得g(tn,v(tn)))＞0，n=1,2,….

(H2)a(t)∈C+(0,1)，使得t(1-t)a(t)dt＜+∞成立，并且存在自然數m≥3及正數，滿足a(c)＞0.記：

顯然，在條件(H2)下A＞0且Bm＞0，在條件(H1)-(H2)下，T∶C+［0,1］→C+［0,1］.

引理1假設條件(H1)與(H2)成立，則T∶Km→Km是全連續映射.

證對于n=1,2,…，記an(t)=min{a(t),n}，en{t∈［0,1］|a(t)≥n}.記：

由(H2)知s(1-s)a(s)ds→0(n→+∞)，任取r＞0及u∈Ωr，記M=0≤m‖av‖x≤rg(s,v(s))，則有：

這表明sup{‖Tv-Tnv‖|v∈Ωr}→0，于是T∶Km→Km全連續.

2　主要結果

定理1假設條件(H1)-(H2)成立，并且存在兩個不同的正數a、b使得：

則邊值問題(3)存在一個正解v*∈Km且有min{a,b}≤‖v*‖≤max{a,b}.

證不妨設a＜b.任取v∈?Ωa，則對任何有0≤s≤1有g(s,v(s))≤.于是有：

這表明，當v∈?Ωa時

任取v∈?Ωb，則對任何≤s≤1-時，有g(s,v(s))≥.于是：

這表明，當v∈?Ωb時，‖Tv‖≥b=‖v‖.

根據范數形式的錐拉伸與錐壓縮映像的不動點定理，可以知道存在，使得Tv*=v*.這表明，v*為(3)的解且滿足a≤‖v*‖≤b.由于‖v*‖≥a＞0，注意到v*(s)在上大于0.利用Tv*=v*及條件(H1) (H2)，可以斷定‖v*‖＞0，于是邊值問題(3)存在正解，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理2假設條件(H1)-(H2)及(L1)-(L2)成立，則對任意的λ滿足0＜λ＜λ*，邊值問題(3)存在兩個正解，其中：

另一方面，由(L1)-(L2)知，存在b1、b2滿足0＜b1＜a1＜r0＜a2＜b2＜+∞，使得：，其中s∈(0,b1］∪,+∞).由此可得：g(s,v(s))≥

上述結論滿足定理1的條件，定理1結論成立.邊值問題(3)存在兩個正解v*1、v*2滿足0＜b1＜‖v*1‖＜a1＜r0＜a2＜‖v*2‖＜b2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理3假設條件(H1)-(H2)及(L3)-(L4)成立，并且當s＞0時，g(s,v(s))＞0，則對任意λ滿足λ**＜λ＜+∞，邊值問題(3)存在兩個正解，其中：

成立.這表明：

另一方面，(L3)表明g(0,v(0))=0且存在a1滿足0＜a1＜b1使得當‖v‖∈(0,a1］時，有成立.于是g(s,v(s))成立，其中‖v‖∈(0,a1］.而(L4)表明，存在正數a滿足b2＜a＜+∞，使得當‖v‖∈(a,+∞］時，.不妨設g(s,v(s))，選取a2＞a滿足a2≥λAM，則有g(s,v(s))≤M≤≤成立，其中‖v‖∈(0,a2］.

滿足定理1的條件，定理1結論成立.因此，邊值問題(3)存在兩個正解滿足0＜a1＜‖‖＜b1＜λ**＜ b2＜‖‖＜a2＜+∞，由此可推出(1)也存在正解，該正解由(2)唯一確定.

定理4假設條件(H1)-(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L1)與(L4)成立；②(L2)與(L3)成立，則對任意λ＞0，邊值問題(3)存在一個正解.

證對于①，僅需證明對于定理2中，λ*=+∞.設g(s,v(s)).

情形一：若M有界，則由定理2知，有λ*≥=+∞于是結論成立.

情形二：若M無界，則存在數列rn→+∞，使得g(rn,v(rn))g(s,v(s)).利用(L4)可以得到λ*≥=+∞，于是結論成立.

對于②，僅需證明對于定理3中，λ**=0.由(L2)知，當‖v‖→+∞時，有g(s,v(s))→+∞，則存在rn→+∞，使得g(s,v(s))成立.利用(L2)則和定理2，有λ**≤=0成立.于是結論成立.

定理5假設條件(H1)(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L1)與(L6)成立；②(L2)與(L5)成立，則對任意0＜λ＜，邊值問題(3)存在一個正解.

對于②，證明過程與①類似.

定理6假設條件(H1)-(H2)成立，下列條件其中一條成立：①(L3)與(L6)成立；②(L4)與(L5)成立，則對任意＜λ＜+∞，邊值問題(3)存在一個正解.

證對于①，由(L3)與(L6)知，存在rn→+∞，使得：

利用定理2，有：

對于②，證明過程與①類似.

參考文獻：

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［10］Feng M Q,Ge W G.Existence of positive solutions for singular eigenvalue problems［J］.Electronic Journal of Differential Equations,2006(105):1-9.

（責任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：O175.8

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2015）02-0001-05

［收稿日期］2014-02-03

［作者簡介］黃明輝（1988-），男，廣東從化人，廣州華夏職業學院基礎部助教，碩士；研究方向：微分動力系統.

Existence of Positive Solutions for Fourth-order Boundary Problems of Differential Equation with p-Laplacian Operator

HUANG Ming-hui
（Department of Basic,Guangzhou Huaxia Technical College,Guangzhou 510935,Guangdong,China）

Abstract:The paper studied the BVP with p-Laplacian operator.By using the fixed point theorem of cone expansion and compression of norm type,it proved the existence of positive solutions of the upper equation.In addition,it achieved some sufficient conditions for the existence of at least one positive solution within the specific range which depends on the parameter that is λ＞0 when there is peculiarity at point a(t).

Key words:fixed point theorem;existence interval;positive solution;p-Laplacian operator