基于Euler方程的角接觸球軸承打滑動力學模型

韓勤鍇，李崢，褚福磊

(清華大學 摩擦學國家重點實驗室，北京 100084)

角接觸球軸承運轉時，為保證鋼球在溝道上作純滾動，需使鋼球與內外圈之間有足夠大的摩擦力以提供拖動力，否則鋼球將出現相對滑動。鋼球打滑是影響軸承運行平穩性的主要因素之一。隨著現代機械裝備向高速、重載方向發展，一旦出現打滑，軸承及潤滑油溫度將劇增，磨損加劇，壽命縮短。不僅影響裝備正常運轉，甚至可能出現嚴重事故[1]。

因此，準確預測軸承打滑行為、提出相應的防滑設計準則是國內外學者關注的問題。文獻[2]考慮鋼球與內外溝道的接觸力、摩擦力、流體阻力以及離心力等因素，采用擬靜力學方法建立了高速軸承的打滑預測模型，討論了軸承軸向載荷、轉速以及鋼球數目對滾動軸承打滑的影響。文獻[3]考慮離心力的影響，通過球軸承的幾何分析和力平衡分析，獲得了接觸力和接觸角。文獻[4]研究了球軸承在徑向和軸向載荷同時作用下的打滑行為。文獻[5]研究了因滑動所引起的熱效應的影響。文獻[6-7]分別采用擬動力學分析模型，針對航空發動機主軸用圓柱滾子軸承的工作條件進行了深入的模擬分析, 包括載荷分布、接觸應力與變形、滾子的公轉與自轉速度、打滑、歪斜、傾斜、保持架的運動狀態、軸承的發熱、磨損以及壽命等參數。文獻[8-10]分別給出了僅承受軸向載荷和承受聯合載荷時角接觸球軸承防滑最小軸向載荷的計算公式。文獻[11]針對擠壓油膜阻尼器支承的航空發動機轉子系統，采用擬動力學方法研究了轉子渦動工況對角接觸球軸承滑動的影響機理。

上述研究大多基于擬靜力(動力)學模型。事實上，軸承經常承受動載荷，加之鋼球與保持架之間的非連續接觸、碰撞作用，使得鋼球的打滑行為將隨時間和空間變化。在這種情況下，基于擬靜力學模型的穩態分析方法難以準確表征和預測鋼球打滑運動行為，因此發展動力學分析方法是國內外共同的發展趨勢[12]。文獻[13]首先采用動力學方法建立了推力球軸承的運動微分方程，考慮了彈流潤滑的影響，研究了球的瞬態運動行為，實現了潤滑狀態下軸承的打滑仿真。文獻[14-15]分別考慮彈流潤滑的影響，建立滾子軸承的動力學模型，實時模擬了滾子公轉轉速、自轉轉速及保持架轉速，進而分析了軸承打滑的動力學特性。文獻[16]建立了滾子軸承有限元接觸仿真模型，研究滾子與內外滾道之間的滑動。文獻[17]忽略離心力和陀螺力對接觸角的影響，建立了風電裝備高速輸出軸軸承的動力學模型，研究了鋼球的打滑特性。文獻[18-19]針對某車用深溝球軸承，建立球自轉和公轉2自由度動力學模型，研究了球進入載荷區所出現的咬入滑動現象，并考慮轉子加速等瞬態工況的影響規律。國內外相關學者均對軸承打滑的動力學問題進行了相關研究，但研究對象局限于推力軸承(承受軸向載荷)和深溝球軸承(承受徑向載荷)，而對于承受聯合載荷的高速角接觸球軸承卻研究很少。高轉速和聯合載荷將使得角接觸球軸承鋼球具有空間三維運動，而推力和深溝球軸承均可簡化為平面二維轉動問題。

下文基于Euler方程建立球三維轉動微分方程組，在載荷分析的基礎上推導因鋼球相對滑動而產生的時變摩擦力和摩擦力矩，從而得到角接觸球軸承打滑動力學模型。以7218AC軸承為例，分析了軸向和徑向載荷聯合作用時，球滑動速度隨時間和空間的變化規律。

1 基于Euler方程的動力學模型

假定軸承外圈固定，忽略內圈沿坐標軸橫向平移運動。采用一個固定坐標系(O1x1y1z1)和一個轉動坐標系(Oxyz)來描述第j個球自身3個方向的旋轉(ωxj,ωyj,ωzj)和繞軸承軸線的公轉(ωcj),如圖1所示。定義鋼球自轉運動向量，由Euler方程可得描述球繞自身3個轉軸運動的微分方程為

(1)

Jj=diag(Ixj,Iyj,Izj)，

Mj=[Mxj,Myj,Mzj]T,

圖1 軸承鋼球分析坐標系

式中：Jj為鋼球轉動慣量矩陣;Ixj,Iyj,Izj為實心圓球的轉動慣量；m為鋼球質量；r為球半徑；qj為鋼球自轉角速度向量；Tj為牽連角速度矩陣；ωx1,ωy1,ωz1為轉動坐標系相對固定坐標系的旋轉角速度,ωx1=ωy1=0,ωz1=ωcj；Mj為鋼球所受的合力矩；Mxj,Myj,Mzj分別為球沿x,y,z軸的力矩。

對于鋼球繞固定坐標軸z1的公轉速度ωcj，根據動量矩定理可得

(2)

式中：Icj為鋼球繞軸承軸線的轉動慣量；Izj為鋼球繞z軸的轉動慣量；rpw為球組節圓半徑；Mfj為內外滾動摩擦力所提供的拖動力矩；Mcj為相鄰鋼球對第j個鋼球的作用力所引起的合力矩。

保持架處理為彈簧kcage，并始終與相鄰鋼球接觸，如圖2所示。

圖2 球與保持架之間的相互作用

根據力平衡關系，可得

Mcj=-kcage(δ--δ+)rpw，

(3)

式中：θc(j-1),θcj,θc(j+1)分別為t時刻第j-1，j，j+1個鋼球繞z1軸轉過的角位移；δ+,δ-分別表示第j個鋼球與相鄰兩個鋼球之間的相對變形量；Z為鋼球個數。

鋼球公轉角位移與角速度之間的微分關系為

(4)

由(1)，(2)，(4)式得

(5)

Γj=diag([Jj,Icj,1])，

式中：xj,Γj,Θj分別為描述第j個鋼球運動的自由度向量、系數矩陣和外力向量，可由(1)和(2)式得到。

則鋼球運動的微分方程組

(6)

Mj和Mfj由鋼球與內外溝道之間的摩擦力和摩擦力矩確定。

2 摩擦力和摩擦力矩

2.1 接觸載荷

根據Hertz接觸理論，鋼球與溝道之間的接觸力和接觸變形(圖3)之間的關系為

f=Kδ3/2，

(7)

E′=E/(1-ν2)，

圖3 鋼球與內外溝道的接觸

式中：K為接觸剛度系數；E為材料彈性模量;ν為泊松比；R為當量主曲率半徑；κ為橢圓率；ξ和ε分別為第一類和第二類橢圓積分，與κ有關[20]。

第j個鋼球與內溝道之間的受力情況如圖4所示，該鋼球對內圈的作用力在固定坐標系的分量為

圖4 軸承受力分析示意圖

式中：K1為鋼球與內外圈之間的總接觸剛度系數；Ki為鋼球與內圈之間的接觸剛度系數；Ke為鋼球與外圈之間的接觸剛度系數；δj為鋼球沿接觸線的變形量；α為軸承接觸角。

由圖4可得

根據平衡條件，所有鋼球對內圈的作用力之和應與作用在內圈的外力相等，方向相反。因此有

(10)

式中：Fx1,Fy1,Fz1分別為作用在內圈上外力沿x1，y1，z1的分量。

可采用Newton迭代法求解[δx1δy1δz1]T，后利用(9)式求解鋼球與溝道之間的接觸變形量δj。

根據(7)式可得第j個鋼球與內外溝道之間的接觸力為

(11)

2.2 接觸界面相對滑移速度

鋼球沿溝道運動時，由于自轉和公轉作用，使得接觸面鋼球和內外溝道產生相對滑移?；扑俣葧a生摩擦拖動力，使得鋼球沿溝道滾動。當接觸載荷過小或摩擦因數過小時，溝道無法提供足夠的拖動力，鋼球便會沿溝道出現打滑。

由于外溝道固定，則鋼球與外溝道沿接觸橢圓坐標軸方向的相對滑移速度ΔVeyj和ΔVexj由鋼球自轉和公轉引起。根據圖1中給出的角速度關系，并向xe軸和ye軸分解可得

ΔVexj=rωyjsinα+rωzjcosα+

(12)

由于內溝道以ωi自轉，則鋼球相對內溝道的公轉速度為ωi-ωcj。同理可得

ΔVixj=-rωyjsinα-rωzjcosα-

(13)

2.3 摩擦力和摩擦力矩求解

摩擦因數與接觸界面相對滑移速度相關，摩擦因數函數如圖5所示。

圖5 摩擦因數函數

摩擦因數可表示為[22]

(14)

根據Hertz接觸理論，接觸區應力分布可表示為

(15)

式中：pHj為接觸區最大接觸應力；a和b為接觸橢圓的長半軸和短半軸。

根據庫倫摩擦理論可得到鋼球與內外溝道的摩擦力沿橢圓長軸和短軸的分量分別為

(16)

(17)

摩擦力矩為

(18)

將摩擦力和摩擦力矩轉換至轉動坐標系中，即可得鋼球自轉運動的外載荷

(19)

對于鋼球公轉運動的外載荷，有

Mfj=rgefexj+rgifixj，

(20)

式中：rge和rgi分別為外溝道和內溝道溝底半徑。

3 打滑動力學模型求解

具體計算流程如圖6所示。

圖6 打滑動力學模型求解流程

4 算例分析

該軸承套圈、鋼球材料均為軸承鋼，具體參數見表1。下面將分別針對僅承受軸向載荷和承受聯合載荷2種情況，研究7218AC軸承的滑動特性。

表1 7218AC軸承的計算參數

4.1 軸向載荷

依據圖6可得各個鋼球自轉和公轉角速度隨時間變化情況。由圖4可以看出，1#鋼球在初始時刻θc1=0，即其與固定坐標軸x的夾角為0。后續分析中，若無特殊說明，均以1#鋼球為例進行討論。分析了不同軸向載荷時，鋼球公轉角速度隨時間的變化曲線如圖7所示。隨著軸向載荷的增加，鋼球公轉速度將趨近純滾動時的理論公轉速度(90.48 rad/s)。由圖可知，防止鋼球打滑的最小軸向力為3 600 N。根據文獻[4]得Fz1≥3 680.9 N。由此，驗證了分析模型的準確性。

圖7 軸向載荷對鋼球公轉角速度的影響

4.2 聯合載荷

軸承承受聯合載荷時鋼球公轉速度隨時間的變化曲線如圖8所示。穩態階段徑向載荷的不同并未明顯改變鋼球公轉速度。軸向和徑向載荷聯合作用下鋼球3個方向的自轉角速度隨時間的變化曲線如圖9所示。由于聯合載荷的作用，使得軸承沿溝道周向出現了受載區和非受載區。在受載區，鋼球承受足夠大的軸向載荷，使得自轉角速度趨于穩定狀態，即ωx1≈0,ωy1≈-370 rad/s,ωz1≈-448 rad/s。由(12)和(13)式可知，鋼球相對內外溝道的自旋速度均接近為零，表明此時鋼球作純滾動。而在非受載區，由于沒有足夠大的摩擦拖動力，鋼球相對溝道出現滑動，其自轉速度也出現了較為明顯的波動，如圖9所示。鑒于鋼球沿溝道轉動，而受載區和非受載區將周期性出現，導致其自轉角速度也呈周期性變化。

圖8 徑向載荷對鋼球公轉角速度的影響(軸向載荷Fz1=-4 000 N)

圖9 聯合載荷作用下鋼球自轉角速度(Fz1=-4 000 N，Fz1=-3 000 N)

以鋼球與內溝道接觸面中心處滑動速度(ΔVix)表征鋼球滑動程度的大小，上述4種徑向載荷下隨時間變化曲線如圖10所示。由圖10a和圖10b可知，徑向載荷較小時，鋼球接觸力不為0，說明鋼球始終處于承載區，且與溝道存在摩擦力，鋼球滑動速度接近為0。由圖10c和圖10d可知，增加徑向載荷，滾動軸承周向某些區域內接觸力為0，表明該區域為非受載區，而其余區域為受載區。鋼球沿溝道旋轉，將周期性地進入和退出非受載區。在非受載區，鋼球滑動速度迅速增加；而進入受載區的最初階段，由于接觸力較小，溝道所提供的摩擦力仍無法提供足夠的拖動力，因此滑動速度仍然有所增加；隨著鋼球逐漸進入受載區中心區域，滑動速度開始降低，直至接近0，表明此時鋼球開始作純滾動。當鋼球退出受載區時，滑動速度有所增加，而完全退出受載區而進入非受載區時，滑動速度將再次出現明顯增加。由此可見，一定的軸向載荷下，當徑向載荷足夠大時，鋼球滑動速度將出現顯著的波動。由圖10c和10d可知，隨著徑向載荷的增加，波動的幅值以及波動的范圍均增大，說明滾動打滑加重。此外，鋼球進入受載區時的滑動速度變化要比退出時的變化大。

圖10 聯合載荷作用下鋼球滑動速度及接觸力變化曲線(Fz1=-4 500 N)

5 結束語

基于Euler方程建立角接觸球軸承打滑動力學模型，以7218AC軸承為例，分析了軸向和徑向載荷聯合作用時，鋼球滑動速度隨時間和空間的變化規律。結果表明：在給定的軸向預載下，徑向載荷的作用將使得鋼球打滑速度沿溝道周向出現周期性的波動，尤其是鋼球進入受載區時。隨著徑向載荷的增加，打滑速度和打滑范圍均出現顯著增加。后續研究還將考慮鋼球與保持架之間的接觸和碰撞因素以及彈流潤滑的影響。