粘性雙調(diào)和Camassa－Holm方程整體弱解的存在性與唯一性

甘在會

(天津大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，天津 300072)

0 引 言

1993年，Camassa 等［1］在淺水波方程的研究中導(dǎo)出了一類粘性Camassa－Holm 方程，

其中，α 是一個(gè)非零實(shí)常數(shù)，ν ＞0 為粘性系數(shù)，π 是壓力.方程組(VCHE)也可通過變分原理和拉格朗日平均來導(dǎo)出［2－10］，且(VCHE)也可稱為Navier－Stokes－α方程組［6］.本研究將在系統(tǒng)(VCHE)的基礎(chǔ)上，考慮n維空間中的一類粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(Navier－Stokes－α－β 方程組)，

關(guān)于粘性Camassa－Holm 方程(VCHE)，科研人員已經(jīng)取得一些成果［2－5，8，10］.在此基礎(chǔ)上，本研究將討論n 維粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)整體弱解的存在性與唯一性，其中，n = 2，3.

先給出一些記號:Lp表示標(biāo)準(zhǔn)勒貝格空間，其范數(shù)表示為，，＜u，v ＞=uvdx，表示在Hilbert 空間L2上的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積.令，，則表示∑在范數(shù)‖·‖p下的完備化空間，Wm，p表示標(biāo)準(zhǔn)的Sobolev 空間，且Hm= Wm，2表示∑在Hm范數(shù)下的完備化空間，)' 表示的對偶空間，或表示函數(shù)? 的Fourier 變換，?或(?)表示函數(shù)? 的Fourier 逆變換.

1 預(yù)備知識

賦予粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)如下初值，

于是可得，

引理1 令u 和v 是具有緊支集的光滑函數(shù)，n= 2，3，且·u =·v = 0，則如下式子成立，

在式(1)中第一式兩端與u 作內(nèi)積得，

再利用式(1)中第二式可得，

即式(6)成立.關(guān)于t 積分式(6)兩端知，式(7)成立.

對于粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)，給出如下2 個(gè)關(guān)于弱解的定義.

此外，對任意? ∈L2(［0，T］;(Ω))，且?(T)= 0，如下等式成立，

且關(guān)于t 幾乎處處成立，

此外，對任意? ∈L2(［0，T］;，且?(T)= 0，如下等式成立，

且關(guān)于t 幾乎處處成立，

2 主要結(jié)果及先驗(yàn)估計(jì)式

本研究的主要結(jié)果即粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)在定義1 及定義2 意義下整體弱解的存在性與唯一性.

定理1 給定初值v0∈(Ω)，其中，Ω ?n是具有光滑邊界的開有界集，且v0|=0，或者Ω =n，n = 2，3，M ≥0=.則 粘 性 雙 調(diào) 和Camassa－Holm 方程(1)在定義1 或者定義2 意義下存在唯一的整體弱解.此外，這個(gè)弱解滿足估計(jì)式(7)，且對所有m +2k ≤M 時(shí)，如下估計(jì)式成立，

為了證明定理1，首先給出幾個(gè)重要的引理.

引理2 給定v ∈Lp(n)，p ∈(1，∞)，n = 2，3，雙調(diào)和Helmholtz 方程，

存在一個(gè)弱解，u ∈W2，p(n).此外，函數(shù)u 和v 滿足如下估計(jì)式，

證明 利用橢圓估計(jì)、Sobolev 嵌入定理及插值估計(jì)，可得到引理2 的結(jié)論.

則，

其中，常數(shù)C 僅依賴于α，β，Ω 及n.

證明 利用Poincaré 不等式及Gagliardo－Nirenberg－Sobolev 不等式可推得該引理中的估計(jì)式.

及，

此外，近似解式(10)、(11)滿足如下關(guān)系式，

證明 將式(10)、(11)代入方程(1)，并與ωi作內(nèi)積得，

此式代入式(14)可推知，近似解式(10)、(11)滿足關(guān)系式(12).注意到Pm∶L20(Ω)→Hm，由式(10)知vm(0)= Pmv0，即式(13)成立.

將式(10)、(11)代入式(12)可得，

方程(16)是關(guān)于gim的一個(gè)m 階常微分方程系統(tǒng).由常微分方程解的局部存在性理論知，在某一時(shí)間區(qū)間［0，Tm］上，方程(16)的解gim有定義且存在.

下面的引理5 給出了Tm一致有界(不依賴于m)，即對任意m，Tm= ∞.

引理5 令n = 2，3，由引理4 構(gòu)造的近似解滿足如下估計(jì)式，

其中，C = C(n，α，β，ν，‖v0‖2)不依賴于T，Ω及m.

證明 在式(12)兩端同乘，

并求和知，

利用式(11)，及um－ α2Δum+ β2(－ Δ)2um=vm，式(19)蘊(yùn)含著，

由引理1 知，〈um·vm，um〉+〈vm·，um〉= 0.于是，由式(20)可推導(dǎo)出，

即，

于是，式(17)成立.此外，由，

可知，

根據(jù)式(17)，將引理3 應(yīng)用到近似解vm，um知如下估計(jì)式成立，

因?qū)θ我? ∈H20(Ω)可用ωi求和來表示，故由式(12)知每個(gè)近似解滿足，

利用分部積分，H?lder 不等式及Gagliardo－Nirenberg－Sobolev 不等式可推得，

由此可得，

結(jié)合式(13)、(22)、(23)與(26)知，

即式(18)成立.

3 主要結(jié)果證明(定理1 的證明)

定理1 的證明

1)證明在定義1 意義下Camassa－Holm 方程(1)弱解的存在性，即如下結(jié)論成立.

證明 注意到引理4 及引理5，這里僅需證明近似解的收斂性.引理5 蘊(yùn)含著序列vm有界，根據(jù)Banach－Alaoglu 定理，可抽取vm的一個(gè)子序列(為了方便，仍用vm表示)滿足存在一個(gè)函數(shù)v，

使得，

在L∞(［0，T］(Ω))中，vm弱*收斂于v (28)

在L2(［0，T］;(Ω))中，vm弱收斂于v.(29)

下面證明，v 是方程(1)的一個(gè)弱解，根據(jù)引理4中近似解的構(gòu)造，對任意基矢量ωj∈L20(Ω)及任意光滑標(biāo)量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)?j(t)使得，?j(T)= 0，利用分部積分知，

收斂性式(28)、(29)蘊(yùn)含著，

由式(17)及(18)知，存在一個(gè)子序列vm使得，

在L2(［0，T］;L20(Ω))中，vm強(qiáng)收斂于v (34)

注意到引理2，存在一個(gè)函數(shù)u 滿足，u－α2Δu +β2(－ Δ)2u = v.于是，由引理4 可以推導(dǎo)出，

利用Gagliardo－Nirenberg－Sobolev 不等式知，

聯(lián)合式(34)、(35)及(36)，利用H?lder 不等式及Gagliardo－Nirenberg－Sobolev 不等式得到收斂性估計(jì)，

因ωj在中稠密，且?j是任意光滑函數(shù)，故由式(30)、(31)、(32)、(33)、(37)及(38)可得v 是式(1)的一個(gè)弱解.命題1 得證.

注記2 命題1 的結(jié)論在v0∈(Ω)時(shí)也成立.

2)證明在定義2 意義下Camassa－Holm 方程(1)弱解的存在性，即如下命題2 成立.

命題2 令v0∈n)(n = 2，3)，則Camassa－Holm 方程(1)在定義2 意義下存在一個(gè)弱解.

證明 設(shè)Ri是一個(gè)趨于∞的序列，在半徑為Ri－ ε 的球內(nèi)，χRi= 1;在半徑為Ri的球的邊界上，χRi= 0.由注記2 知，在半徑為Ri的球上，式(1)存在一個(gè)弱解vRi，且初值為v0χRi.令vRi在半徑為Ri的球外為0，可將vRi延拓到整個(gè)空間n.因式(17)、(18)不依賴于Ω，故式(17)、(18)不依賴于Ri.由Banach－Alaoglu 定理知，存在函數(shù)v，

使得，

在L∞(［0，T］，vRi弱*收斂于v.(39)

在L2(［0，T］中，vRi弱收斂于v.(40)

注意到空間L2(［0，T］;H10(Rn))中存在一組正交基{?i}，其中?i光滑且關(guān)于空間具有緊支集.由命題1 及注記2，對充分大的Ri成立，

于是，可對線性項(xiàng)取極限Ri→∞.此外，在每個(gè)基函數(shù)?i的支集內(nèi)，由強(qiáng)收斂性，可對非線性項(xiàng)取極限.最后，通過對角化討論可證，當(dāng)Ri→∞時(shí)式(41)的收斂性.于是可知，v 是粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)在定義2 意義下的一個(gè)弱解.

3)證明正則性估計(jì)式(E－1)成立.

命題3 對于命題1，命題2 中構(gòu)造的Camassa－Holm 方程(1)的弱解v，且v0∈HK0，當(dāng)M +2P ≤K 時(shí)，如下正則性估計(jì)式成立，

證明 運(yùn)用歸納法，由牛頓萊布尼茲公式及Gagliardo－Nirenberg－Sobolev 不等式可得到此命題中的正則性估計(jì)式成立.

4)證明在命題1、命題2 中構(gòu)造的粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)的弱解的唯一性，即如下結(jié)論成立.

命題4 在命題1、命題2 中構(gòu)造的粘性雙調(diào)和方程(1)的弱解是唯一的.

證明 令(v，u)和(w，q)是粘性雙調(diào)和Camassa－Holm 方程(1)具有相同初值的2 個(gè)解.于是，(v－ w，u－ q)滿足，

利用H?lder 不等式、Gagliardo－Nirenberg－Sobolev不等式、柯西不等式及引理3，式(45)右端項(xiàng)滿足如下估計(jì)式，

于是，由引理5 可得，

由Gronwall 不等式及‖v0－w0‖2= 0 可推知，對任意t ∈［0，T］，‖v－ w‖2= 0.

由命題1、注記2、命題2、命題3 及命題4 知，定理1 得證.

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