基于變指數趨近律的無刷直流電動機滑模控制

范春豐， 遲冬祥

（上海電機學院a.電氣學院，b.電子信息學院，上海201306）

由于無刷直流電動機（Brushless DC Motor，BLDCM）具有恒定的機械轉矩、良好的機械和調速特性，故其被廣泛應用于航空航天、機器人等領域。但BLDCM系統的時變、非線性、強耦合特征[1-2]決定了其數學模型很難建立，無法獲得準確的動力學參數，控制系統也更為復雜。

滑模變結構控制可以通過控制器結構的變化突破經典線性控制系統的限制，能快速跟蹤系統參數的變化，在內外干擾下系統魯棒性較好，且響應速度快、結構簡單，是近年來的一個研究方向[3-4]。文獻[5] 中將轉矩觀測器引入滑?？刂浦?，減小了控制誤差，抑制了外界干擾。文獻[6] 中結合模糊控制與滑模控制，改善了系統的抖振。文獻[7] 中提出了一種新型的積分自適應全局滑模控制器，削弱了系統的抖振。文獻[8] 中在無位置傳感器的BLDCM控制系統中應用了滑?？刂疲Ⅱ炞C了其性能。文獻[9] 中將基于指數趨近律的滑模控制器引入轉速調節器，降低了轉矩脈動。由于指數趨近律存在高頻抖振，影響了系統調速性能，本文提出將基于變指數趨近律的滑?？刂茟糜贐LDCM控制系統，采用滑模控制器來控制BLDCM。系統運動軌跡在遠離滑模面時，變指數趨近律以指數和變速兩種速度趨向于滑模面，提高了趨近速度；接近滑模面時，指數趨近律速度趨向于零，改善了指數趨近律帶來的高頻抖振。

1 BLDCM數學模型

假定BLDCM工作于兩兩導通的星形三相六狀態；忽略磁路飽和，不計渦流和磁滯損耗；永磁體無阻尼，忽略定子繞組電樞反應以及齒槽效應；氣隙磁場分布是梯形波，平頂寬120°電角度；三相繞組對稱，忽略繞組間互感。可得BLDCM電壓平衡方程如下：

式中，u為定子相電壓；R為相電阻；i為定子繞組相電流；ε為反電動勢；L為定子電感。

電磁轉矩方程為

式中，Te為電磁轉矩；kT為轉矩系數；ω為角速度；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；δ為阻尼系數。

由式（2）可得BLDCM的電磁轉矩與電流值成正比，通過控制逆變器電流的幅值可控制電動機的轉矩。

反電動勢方程為

式中，kε為反電動勢系數。

將式（3）代入式（1），則

由式（2）～（4）可得BLCDM 動力學系統方程為

圖1 無刷直流電動機動態模型Fig.1 Dynamic model of BLDCM

2 滑?？刂破髟O計

滑?？刂破髦饕O計步驟如下[10]：根據滑動模態漸進穩定性的要求，設計切換函數；根據滑動模態到達的條件，設計控制律；切換函數設計后，系統的動態響應在進入滑動模態后只與切換函數的參數有關，與擾動無關，從而實現擾動的抑制[11]。控制律的選取應使系統的運動范圍穩定在切換面。

選取切換函數

式中，C＝[c，1] 為系數矩陣，c為系數且c＞0；x1、x2為狀態向量。

對于系統（A，B），滑動模態在滑模切換面s＝Cx＝0上的動態響應只取決于C。

2.1 變指數趨近律

通常，系統引入滑模控制器時會在滑動模態下產生抖振，為了提高滑模控制器的控制效果，可在控制器中引入趨近律。滑模控制器中典型的趨近律有等速趨近律、指數趨近律等[12]。

指數趨近律為

式中，s為切換函數；為s的一階導數；系數η為趨近切換面的速率，η＞0；k為指數項系數，k＞0。

由于指數趨近律的滑模切換面為帶狀領域，導致系統雖然在切換面上向原點運動，但無法穩定于原點，而是趨近于原點附近的一個高頻抖振，此抖振可能激發系統中的高頻成分[13]。

為改善指數趨近律的控制效果，本文對其進行改進，將狀態量e引入指數項，從而獲得新的變指數趨近律：

e在變指數趨近律下以變速和指數的速率趨向滑模面，在靠近滑模面時指數項趨近于零，其中，變速項sgn（s）起了主要作用。在滑?？刂坡傻淖饔孟拢斚到y在穩定中趨向零時，e進入滑模切換面并趨近原點，此過程不斷減小控制律中的變速項sgn（s），使之最終到達原點。當到為達零原，達點到時消，產除生抖振抖的振目的的sg。n（s）項的系數

由李雅普諾夫穩定性定理可得，滑動模態的穩定性條件為

由式（9）、（10）可得：

又由于k＞0，ε＞0，故有ss·＜0。

取李雅普諾夫函數

則

因此，可明顯得到當＜0，有，此時變指數趨近律滑?？刂剖欠€定的。

2.2 控制律設計

令e＝ω0-ω，其中，ω0為給定參考角速度，選取狀態變量x1＝e，x2＝為e的一階導數，則

將式（13）代入式（5），得BLDCM 的狀態空間方程：

整理后，得

式中，

由式（6）、（8）、（14）、（15）可得控制律為

在滑?？刂葡到y中，由于空間滯后和時間延遲等一系列原因，使得滑動模態存在高頻抖振。這種抖振減弱了系統的精確性，并且增加了系統消耗，嚴重時會造成系統的不穩定[14-15]。為更好地降低抖振對系統的影響，本文采用準滑模動態控制原理，以飽和函數sat（s）替代sgn（s）函數來削弱抖振。

式中，Δ為邊界層，其數值根據改善的抖振效果選取，本文中Δ＝0.05。

3 仿真研究分析

為驗證本文設計的變指數趨近律滑?？刂破鞯挠行?，使用Matlab對PID控制、常規指數趨近律和變指數趨近律滑?？刂破飨碌腂LDCM進行仿真實驗。實驗分突加負載擾動、參數兩部分。實驗中，取η＝300，k＝5。BLDCM參數如表1所示。

表1 BLDCM參數Tab.1 BLDCM parameters

（1）突加負載擾動。當t＝30ms時加入0.25N·m負載擾動。圖2給出了突加負載擾動時BLDCM的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。

圖2 突加負載擾動時的轉速響度和電磁轉矩曲線Fig.2 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under load disturbance

由圖2（a）可見，與滑?？刂破飨啾龋琍ID控制下的系統響應速度較慢，超調較大；在突加負載時，響應曲線下降幅度較大，且需較長的時間才能使轉速穩定至原平衡狀態；滑?？刂葡?，則系統的轉速響應速度較快，快速跟蹤到達額定速度；同時變指數趨近律較常規指數趨近律能更快地達到轉速穩定，且在抑制超調方面效果較好；在系統突加負載時能很快地做出響應，調節系統到穩定狀態，抗負載擾動能力強。由圖2（b）可知，在系統突加負載時，PID控制下系統的電磁轉矩脈動較大；而在滑?？刂葡拢D矩階躍式地達到穩定狀態，且未出現明顯的轉矩脈動，能有效地抑制轉矩脈動，其中在變指數趨近律下，滑?？刂戚^常規指數趨近律的調整速度更快，魯棒性較好。

（2）參數擾動。取負載為TL＝0.15N·m，當t＝30ms時電阻值增加20%，圖3給出了參數擾動下的轉速響應曲線和電磁轉矩曲線。

圖3 參數擾動時的轉速響應和電磁轉矩曲線Fig.3 Speed respone curve and electromagnetic torque curve under parameter perturbation

如圖可見，當參數擾動時，在PID控制下，系統的轉速響應較慢，超調明顯；變指數趨近律和常規指數趨近律控制下的滑?？刂葡到y的抗干擾性較好。進一步分析可知，在兩種趨近律下，系統負載時轉矩均能在短時間內達到平穩，但變指數趨近律較常規指數趨近律轉矩脈動抑制更強；當t＝30ms突加負載擾動時，相對于常規指數趨近律，變指數趨近律滑?？刂葡到y的轉矩調整時間較短。

4 結 語

本文分析并建立了BLDCM數學模型，然后在指數趨近律基礎上提出了變指數趨近律，并將基于變指數趨近律的滑?？刂破鲬糜贐LDCM

系統。仿真結果表明，與PID控制和常規指數趨近律相比，基于變指數趨近律的滑模控制系統具有響應速度快、無超調的優點，系統對負載擾動和參數擾動都有較好的魯棒性，提高了控制系統的穩態性能。

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