探究函數性質的幾個命題

厲曉靈

摘要：函數的奇偶性、周期性、對稱性有密切的聯系，可謂知二求一。本文探究了函數性質的幾個命題。

關鍵詞：函數 ? ?奇偶性 ? ?周期性

對稱性

函數是高中數學的重點和難點，在高考中每年都占有一席之地，也一直是高中學生認為比較難學的內容。從現行的高中數學教材來看，函數y=f（x）的奇偶性、周期性、對稱性等這一部分內容具有抽象性較強的特點，經常綜合進行考查且容易出現難題。然而教材中涉及不深，僅僅介紹一些概念和簡單的習題。在教學過程中，筆者在對一些函數問題的研究中發現了一些規律，做如下總結。

一、有關函數圖像對稱性判斷的幾個命題

在二次函數的學習中有如下命題。

定義在R上的二次函數y=f（x）滿足

f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于直線x=a成軸對稱。

推廣：對于任意函數y=f（x），則有命題1：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），即f（a+x）=f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于直線x=a對稱。

命題2：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x）= -f（2a-x），即f（a+x）=-f（a-x），則y=f（x）的圖像必關于點（a，0）對稱。

命題3：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個軸對稱圖形，關于直線對稱，反之亦然。

命題4：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）= -f（b-x），則y=f（x）的圖像本身是一個中心對稱圖形，對稱中心是（，0），反之亦然。

二、有關函數周期性判斷的幾個命題

函數的周期性是函數的一個重要性質，學生在高中三角函數部分的學習中，學習余弦函數和正切函數的圖像和性質時開始接觸，并在有關三角函數習題的解題中大量應用。在此基礎上，可推廣到對一般的函數的研究中。

函數的周期性：若T為非零常數，對于定義域內的任一x，使f（x+T） =f（x）恒成立，則f（x）叫做周期函數，叫T做這個函數的一個周期。

函數的奇偶性：一般地，對于函數f（x），（1）如果對于函數f（x）定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數。（2）如果對于函數f（x）定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數。

命題1：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）=-f（x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期 T=2a。

命題2：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（x+a）=，（a≠0），則y=f（x） 必是周期函數，且其中的一個周期T=2a。

命題3：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）=，（a≠0），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=2a。

命題4：定義在R上的函數y=f（x）滿足f（a+x）=，（其中a≠0，

f（x）≠1），則 y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=4a。

命題5： 定義在R上的函數y=f（x）滿足 f（x+a）=f（x+b），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=a-b。

證明：∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）

∴y=f（x）為周期函數，且其中的一個周期T=a-b。

命題6：函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足 f（x+a）=f（-x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=a。

證明：∵y=f（x）是偶函數，

∴f（-x）=f（x），

又∵f（x+a）=f（-x）=f（x），∴y=f（x）為周期函數，且其中的一個周期T=a。

命題7：函數y=f（x）是R上的奇函數，且滿足f（x+a）=f（-x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=2a。

命題8：函數y=f（x）是R上的偶函數，且滿足 f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

命題9：函數y=f（x）是R上的奇函數，且滿足f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

證明：∵y=f（x）是奇函數，且

f（-x）= -f（x）。

∴f（x+a）=f（b-x）=f（x-b）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[（x+ b）-b]=f（x）

∴y=f（x）為周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

（注意：命題中函數的周期未必是最小正周期。）

在上面的命題中，我們又可以發現，命題中同時出現了函數的奇偶性、對稱性和周期性，因此得到下面情形。

三、探究新知，知二求一

以命題8為例，將命題變為三個條件：①函數y=f（x）是R上的偶函數，②滿足f（x+a）=f（b-x），③函數y=f（x）是周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

探究一：①② ③：

證明：∵y=f（x）是R上的偶函數， ∴f（-x）=f（x）

又f[x+（a+b）]=f[（x+b）+a]=f[b-（x-b）]=f（-x）=f（x）

∴y=f（x）為周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

探究二：②③ ①：

證明：∵f（x+a）==

f（b-x）=

∴=f（a+b-x）

=f（x）

用-x代替上式中的x，則可得到f（a+b+x）=f（-x）

又∵函數y=f（x）是周期函數，且其中的一個周期T=a+b。

則f（a+b+x）=f（-x）=f（x），故函數y= f（x）是R上的偶函數。

探究三：①③ ②：

證明：∵f（a+b-x）=f（-x）=f（x），∴函數y=f（x）以直線為對稱軸，∴f（x+a）== =f（b-x）。

通過以上證明得到，結論一：函數y=f（x）是R上的偶函數，且滿足f（x+a）=f（b-x），則y=f（x）必是周期函數，且其中的一個周期T=a+b。結論二：函數y=f（x）滿足f（x+a）=f（b-x），且y=f（x）是周期函數，且其中的一個周期T=a+b，則f（x）是R上的偶函數。結論三：函數y=f（x）是R上的偶函數，且y=f（x）是周期函數，其中的一個周期T=a+b，則

f（x+a）=f（b-x）。

由此，我們可以得到：函數的奇偶性、對稱性和周期性三者之間應該有緊密的聯系，可謂“知二求一”。