泰勒公式及其應(yīng)用

閆艷

【摘 要】泰勒公式是高等數(shù)學中的一個重要公式，它能將一些復雜的函數(shù)近似地表示成簡單的多項式函數(shù)。本文主要探討了泰勒公式在極限運算、近似計算、不等式的證明、級數(shù)斂散性的判斷等方面的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式 極限 不等式 收斂性

一、泰勒公式

泰勒公式是一元微積分的一個重要內(nèi)容，不僅在理論上占有重要地位，在近似計算、極限計算、函數(shù)性質(zhì)的研究等方面都有著重要的應(yīng)用。泰勒公式的一般形式為：

其中為拉格朗日余項或皮亞諾型余項。

若令，則泰勒公式變?yōu)辂溈藙诹止剑矗?/p>

二、泰勒公式的應(yīng)用

1.利用泰勒公式求極限

為了簡化極限運算，有時可用某項的泰勒展開式來代替該項，使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理分式的極限，就能簡捷地求出。

例如求極限 ，此為型極限，若用羅比塔法則很麻煩。這時可將和分別用其泰勒展開式代替，則可簡化此比式，求得

==.

注：用泰勒公式計算極限的實質(zhì)是利用等價無窮小的替代來計算極限。我們知道，當時， 等，這種等價無窮小其實就是將函數(shù)用泰勒公式開至一次項，有些問題用泰勒公式和我們已經(jīng)熟知的等價無窮小法相結(jié)合，問題又能進一步簡化。

2. 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值

討論函數(shù)極值通用的方法是：當且（或）時，是的極小（大）值。但如果此時，此方法不能判別 是否為極值點，可用泰勒公式。

3. 泰勒公式判斷廣義積分的收斂性

為一正值函數(shù)，要判定的收斂性，如果能找到恰當?shù)模梗杀容^判別法的極限形式可判別出無窮積分的收斂性。這里的問題也是如何選取，才能應(yīng)用判別法則呢？運用泰勒公式通過研究的階，就可以解決這類問題。

4. 利用泰勒公式近似計算和誤差估計

泰勒定理：若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有直到n+1階的連續(xù)偏導數(shù)，則對內(nèi)的任一點，存在相應(yīng)的，使得

=+…

+）

5.利用泰勒公式證明不等式

在高等數(shù)學中，常常要證明一些不等式，而且證明不等式的方法很多。泰勒公式除了上面介紹的一些應(yīng)用外，在證明不等式時也很方便。在欲證的不等式（或題設(shè)）中含有一階以上的導數(shù)，一般可以利用泰勒公式。應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇要展開的函數(shù)、在哪一點的鄰域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階次及余項形式。

綜上可知，一般當問題涉及二階以上導數(shù)時， 可考慮利用泰勒公式求解。把 看成定點， 看成動點，通過定點 處的函數(shù)值 及導數(shù)值， ，… 來表達動點 處的函數(shù)值。在解題中，只要注意分析研究題設(shè)條件及其形式特點，恰當?shù)剡x擇函數(shù)、點 、展開的階次n 及余項形式，并把握上述處理原則， 就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧。