八模類Lorenz系統的全局動力學特性及數值模擬

徐鴻鵬+尹社會+皮小力

摘 要： 運用Matlab中的Simulink組件，通過理論和數值模擬分析一個八模類Lorenz混沌系統的非線性特性，從對稱性、耗散性、空間相圖、功率譜、Poincare映射、分岔圖等幾個方面展示了該系統具有豐富的動力學行為。通過構造廣義李雅普諾夫函數給出新的全局指數吸引集及其指數估計速率，該類系統解的界估計為其控制和同步提供理論依據，通過計算機模擬證明，數值模擬與理論計算的結果相吻合。

關鍵詞： 八模類Lorenz系統； 理論分析； 數值模擬； 全局吸引集

中圖分類號： TN911?34； O357.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2015）14?0006?02

Global dynamics characteristics and numerical simulation of eight?mode?like Lorenz system

XU Hongpeng， YIN Shehui， PI Xiaoli

（Henan Polytechnic Institute， Nanyang 473000， China）

Abstract： The nonlinear characteristic properties of eight?mode Lorenz?like chaotic system are analyzed by theoretical and numerical simulation based on Simulink in Matlab software. The rich dynamic behavior of the novel chaotic system is demonstrated in the aspects of symmetry， dissipation， space phase diagram， power spectrum， Poincare mapping and bifurcation diagram. The globally exponential attractive set and its exponential estimation rate are given via constructing the generalized Lyapunov function. The boundedness obtained in this paper provides the theoretic foundation for chaotic control and chaotic synchronization of the system. Numerical simulation results show the effectiveness of the proposed scheme， and is consistent with the results of theoretical calculation.

Keywords： eight?mode?like Lorenz system； theoretical analysis； numerical simulation； globally attractive set

0 引 言

奇怪吸引子是相空間中的一個點集，隨著運動時間的增加，所有軌線都趨向于它。自從Lorenz在三維自治系統中發現了蝴蝶混沌吸引子之后[1]，就有新的混沌吸引子不斷被發現，尤其是這些混沌系統的動力學行為和一些系統的有界性被許多研究者所認識和研究[2?9]。本文進一步考慮文獻[10]所提出的新八模類Lorenz 方程組，結合數值計算分析了該系統的動力學特性，表明了在一定參數范圍內混沌吸引子的存在性。并通過構造廣義李雅普諾夫函數給出了新的全局指數吸引集及其指數估計速率。

1 數學模型及其主要結果

崔妍等在研究平面正方形區域上不可壓縮的Navier?Stokes方程進行傅立葉展開后，進行截斷得到一個新的八模類Lorenz 方程組[10]。該混沌系統的方程為：

[x1=-2x1+4x2x3+4x4x5+4x6x8x2=-9x2+3x1x3x3=-5x3-7x1x2-95x1x7+Rex4=-5x4-x1x5x5=-x5-3x1x4+5x1x6x6=-x6-5x1x5-3x1x8x7=-5x7+95x1x3x8=-5x8-x1x6] （1）

式中：[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8∈R8]為狀態變量；雷諾數Re為系統實參數，其物理意義為是流體慣性力與黏性力比值的量度，無量綱，通過改變Re的取值，可以得到系統的不同動力學行為。

當Re=44.5時，初值取[1，1，1，1，1，1，1，1]，系統（1）軌線的相圖如圖1所示。

圖1 吸引子相圖

Poincare映射是通過降低超平面的維數來進行定性研究的一種重要手段，圖2表示系統處于混沌狀態。功率譜是另一種重要的判斷方法，連續功率譜并出現峰值則進一步表明吸引子的混沌特性，如圖3所示。分岔圖如圖4所示。

圖2 Poincare映射

圖3 功率譜

圖4 分岔圖

通過數值模擬計算表明，隨著參數[Re]的變化，系統表現出匯聚點、極限環（周期軌或擬周期軌）和混沌吸引子等不同的非線性行為，即出現臨界Hopf分岔和混沌現象。

2 系統的界估計和數值模擬

下面給出系統的界估計和最終有界集的結論。

定理1：集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系統（1）的正向不變集和最終有界集，其中：

[X=x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]

證明：令[VXt=12i=18x2i]為廣義正定，徑向無界的Lyapunov函數，對[V]沿系統（1）的軌線對時間求導有：

[dVdt1=i=18xixi=-[2x21+9x22+5x3-Re102+ 5x24+x25+x26+5x27+5x28]+Re220]

令[V=dVdt1=0]，可得到八維超球面[Γ]：

[Γ=X2x21+9x22+5x3-Re102+5x24+x25+x26+5x27+5x28=Re220]

在[Γ]外部，[V<0]，在[Γ]內部，[V>0]，因此，函數[Vx，y，z]只能在[Γ]上取得最大值，如果記函數[Vx，y，z]在[Γ]上的最大值為[R2]，根據文獻[9]可得[R2=Re52]。

對于集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]，有[Γ?Ω]；應用反證法易證，[limt→∞ρXt，t0，X0，Ω=0]，即集合[Ω]是系統（1）的正向不變集和最終有界集。特別地，當參數[Re=44.5]時，系統（1）的最終界估計為，[Ω=Xi=18x2i≤8.92]，如圖5所示。

圖5 最終界

定理2： 令[VXt=12i=18x2i]，則當[VXt≤Re52，][t≥t0]時，系統（1）有如下的指數估計式：

[VXt-Re52≤VXt0-Re52e-2t-t0， t≥t0]

特別地，集合[Ω=Xi=18x2i≤Re52]是系統（1）的全局指數吸引集。證明略。

該定理不僅給出了系統解的最終界估計式，而且給出了系統（1）的軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計表達式。

3 結 論

本文研究了參數[Re]變化時系統（1）的部分動力學行為和全局吸引集，并且給出了相應的計算機仿真。由于該系統具有豐富的動力學行為，其中混沌機理和分岔現象的研究以及電子振蕩電路是下一步研究的重點任務。

參考文獻

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