復變函數與積分變換的MATLAB解法與可視化的教學改革研究

王 璐

（黑龍江大學，黑龍江哈爾濱150080）

《復變函數與積分變換》課程是電子、通信、信號處理等理工科必修的基礎課，數學理論的抽象和求解過程的煩瑣，常常會使學生產生畏懼從而失去興趣，使教學效果大打折扣，成為后續專業課程學習的“攔路虎”。本文討論了利用MATLAB解決在《復變函數與積分變換》學習中遇到的一些問題。由于相關書籍大多只介紹MATLAB的基礎用法，基礎多而實際應用少，其中利用MATLAB求解復變函數和積分變換的研究就更少，本文的研究重點就在于此。利用MATLAB解決《復變函數與積分變換》中的問題，可以節省人力計算，提高學習效率。通過MATLAB將計算結果和復雜函數以圖像的形式繪制出來，一方面有利于教學，另一方面可提高學生利用MATLAB編程的能力，為今后學習打下良好基礎。

1 MATLAB求解復變函數

MATLAB提供了大量的數學函數，可大大減少手工計算量。復變函數求導，用到的函數是diff（function，’variable’，n），而復變函積分用到的函數是int（function，variable，a，b）。留數的計算可分為兩類。第一類是指復變函數的分子和分母都是多項式的形式，函數命令為［R，P，K］=residue（B，A）。第二類指復變函數的分子和分母不是多項式的形式。例如：求f在點的留數。程序如下：

>>symsz

>>f=（z^2-exp（z））/（z^2-1）

>>r=limit（（z-1）*f，z，1）

>>g=limit（（z+1）*f，z，-1）

泰勒級數能夠將解析函數展開成冪級數［3］，這給解析函數的研究帶來極大方便。例如：求的泰勒級數展開，z＜1，程序如下：

>>symsz

>>f=1/（1-z）;

>>taylor（f，10，z）

應用MATLAB的繪圖功能可以方便而且直觀地繪制圖形，繪制復變函數圖像的命令是plot（）和ezplot（）。例如：繪制復變函數z=t+ietsint的圖像，程序如下（圖像如x y 圖1 所示）：

>>symszt

>>t=0:0.01:2*pi;

>>x=t;

>>y=exp（t）.*sin（t）;

>>z=x+i*y;

>>plot（z）;

勒讓德函數的圖像如圖2所示，貝塞爾函數的圖像如圖3所示，諾依曼函數的圖像如圖4所示。

圖1 復變函數z 的圖像

圖2 勒讓德多項式的圖像

圖3 貝塞爾函數的圖像

圖4 諾依曼函數的圖像

2 MATLAB求解傅里葉積分變換

傅里葉變換是信號處理等學科的基礎，通過傅里葉變換可以獲取信號的頻譜信息，使頻域信號處理更為方便和直觀。MATLAB求傅里葉變換的函數格式為fourie（rf，u，v）。例如：求高斯分布函數的傅里葉變換，程序如下：

>>symsftwxF

>>f=（1/sqr（t2*pi））*exp（-t.^2）

>>F=fourie（rf）

>>symsftwxF

>>f=sin（t）（/pi*t）

>>F=fourie（rf，t）

>>F=-（pi*heaviside（-t-1）-pi*heaviside（1-t））/pi

圖5 傅里葉變換前后對照圖

3 MATLAB求解拉普拉斯積分變換

拉普拉斯變換在物理、力學以及工程技術中都有很廣泛的應用，基本格式是。例如：求單位階躍函數的象函數。程序如下（圖像如圖6 所示）：

>>symsts

>>h=heaviside（t）

例如：求指數函數f（t）=4e2t，t>0的拉普拉斯變換，程序如下（圖像如圖7 所示）：

>>symstfFp

>>f=heaviside（t）*4*exp（2*t）;

圖6 原函數h 的圖像

圖7 原函數f 的圖像

本文研究了MATLAB在《復變函數與積分變換》中的典型應用，利用MATLAB簡化繁瑣的求解過程，并把求解結果用可視化、動態化的形式直觀地表現出來，既能提高學生的學習興趣，又有利于理解問題的本質以及解的意義。

［1］賀凱.MATLAB 在復變函數與積分變換中的應用［J］.沙洲職業工學院學報，2006，（9）.

［2］石博強，趙金.MATLAB 數學計算與工程分析范例教程［M］.北京：中國鐵道出版社，2005：181-182.

［3］周夢，高宗升.現代數學基礎［M］.北京：北京航空航天出版社，2008：55-57.