求解廣義BBM-Burgers方程的一個兩層非線性守恒差分格式

(西華大學理學院，四川 成都 610039)

·基礎(chǔ)學科 ·

求解廣義BBM-Burgers方程的一個兩層非線性守恒差分格式

胡勁松, 王婷婷, 陳 濤

(西華大學理學院，四川 成都 610039)

對廣義BBM-Burgers方程的初邊值問題進行了數(shù)值研究，提出一個兩層非線性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模擬方程本身的一個守恒量，得到差分解的先驗估計和存在唯一性，并利用能量方法分析該格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性。

廣義BBM-Burgers方程；差分格式；守恒；收斂性；穩(wěn)定性

BBM方程是由Benjamin等[1]為描述非線性彌散系統(tǒng)中長波的單向傳播而提出來的。它是對用來描述淺水波損耗現(xiàn)象的KdV方程的一個修改，因此對這類問題的研究有重要的理論價值。關(guān)于廣義BBM-Burgers方程的解的存在唯一性、收斂性以及解的大時間漸近性狀態(tài)等都有了很多研究[2-5]。由于廣義BBM-Burgers方程的解析解很難求出，所以研究其數(shù)值解就非常有意義。Kamel Al-Khaled 等[6]利用Adomian分解方法對廣義BBM-Burgers方程的數(shù)值解進行了研究；文獻[7]利用Fourier 擬譜方法討論了廣義BBM-Burgers方程的周期初邊值問題的數(shù)值解。

本文考慮如下一類廣義BBM-Burgers方程的初邊值問題：

ut-uxxt+ux-uxx+upux=0，x∈(xL,xR)，t∈(0,T];

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR];

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]。

(3)

其中：p≥1為正整數(shù)；u0(x)是已知函數(shù)。由于方程(1)的物理漸近邊界條件為：當|x|→時，u→0，ux→0，所以不難驗證，初邊值問題(1)—(3)具有如下守恒量：

(4)

其中Q(0)為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù)。

文獻[8-9]用有限差分方法對問題(1)—(3)進行數(shù)值方法研究，分別提出三層的二階差分格式，但都沒有模擬守恒量(4)。本文利用文獻[10-11]處理廣義正則長波(GRLW)方程和廣義對稱正則長波(GSRLW)方程的技巧，對問題(1)—(3)提出了一個兩層非線性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模擬問題的守恒量(4)，討論了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收斂性和穩(wěn)定性。……