關于《2014年安徽高考理科數學第21題》的探究

范光龍

研究數列的性質是近幾年高考的熱點，近幾年來，對于數學分析中的數列的極限和收斂等問題頻繁出現在高考中，而沒有超出范圍，是因為我們可以利用函數的不動點和性質，結合數學歸納法來處理數列的單調性和有界性，近幾年多個省份都進行考查，2014年安徽高考也是如此。下面我們給出這方面的幾個探究。

我們知道不是所有的數列都有極限，如果要研究數列的極限，我們要加強對y=f（x）的要求。

探究一：設函數y=f（x），正項數列{an}滿足首相為a1，an+1=f（an），若它們滿足以下幾個條件：

（1）x0為方程f（x）=x的一個正根；

（2）a1

（3）函數y=f（x）在區間I= （a1，x0）上單調遞增；

（4）不等式f（x）>x在區間I上恒成立。

則：a1≤an

下面先用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，根據不等式f（x）>x在區間I上恒成立得a1

（2）假設當n=k時命題成立，即a1≤ak

根據（1）（2）得對任意正整數n，原不等式成立。

探究二：設函數y=f（x）滿足x0為f（x）=x的一個根，正項數列{an}滿足首相為a1=x0，an+1=f（an），則an=x0（證明略）。

探究三：設函數y=f（x），正項數列{an}滿足首相為a1，an+1=f（an），若它們滿足以下幾個條件：

（1）x0為方程f（x）=x的一個正根；

（2）x0

（3）函數y=f（x）在區間I=（x0，a1）上單調遞增；

（4）不等式f（x）

則：x0

而2014年安徽高考理科數學第21題第（2）小題：設實數c>0，整數p>1，n∈N+，數列{an}滿足a1> ，an+1= ，證明：an>an+1> 。正是這個結論。

當我們掌握好以上內容后，根據探究1解決2005年江西理科數學第21題、2008年全國高考理科數學第22題。根據探究三還可以直接解決2006年湖南理科數學第19題、2006年陜西理科數學第22題。

通過上述描述，函數，數列，不等式是高考的熱點話題，他們之間的關系有很多內容有待進一步研究。

（作者單位：安徽省巢湖市第一中學）