基于混沌時間序列建模的頻譜狀態持續時長預測

張 茜劉光斌 郭金庫 余志勇

(第二炮兵工程大學 西安 710025)

基于混沌時間序列建模的頻譜狀態持續時長預測

張 茜*劉光斌 郭金庫 余志勇

(第二炮兵工程大學 西安 710025)

為提高頻譜利用率，該文利用非線性動力學理論對頻譜狀態持續時長序列進行建模并預測。以實際采集的頻譜數據作為研究對象，采用指向導數法對該時長序列進行非一致延長時間相空間重構，利用基于尺度的Lyapunov指數判定其混沌特性。以基于Davidon-Fletcher-Powell方法的二階Volterra預測模型 (DFPSOVF)為基礎，提出一種基于限域擬牛頓方法的Volterra自適應濾波器系數調整模型，并將該模型應用于具有混沌特性的短時頻譜狀態持續時長預測，通過自適應剔除對預測貢獻小的濾波器系數，降低預測模型的復雜度。實驗結果表明該算法在保證預測精度的同時降低運算復雜度。

頻譜感知；頻譜預測；混沌；限域擬牛頓方法

1 引言

頻譜預測技術作為頻譜感知技術的有效輔助手段，可有效提高認知用戶接入成功率，減少切換次數及能量損耗，改善頻譜感知整體性能。目前頻譜預測主要基于馬爾可夫模型、移動平均模型、自回歸模型和機器學習方法等實現[1?4]，但由于所建模型不完善導致誤差積累，給頻譜狀態持續時長預測帶來很大挑戰。

文獻[5]研究了頻譜空洞的不均勻性，結果表明頻譜空洞與頻率、無線傳播環境、授權用戶活動頻度等都有關系，文獻[6]研究了頻譜空閑持續時間分布，表明其分布“遵從類似指數形式的分布，但并不是一個獨立的分布”。以上研究表明頻譜狀態持續時長是一種受多種因素影響的非線性變化過程[5,6]，理論上更準確的預測方法是利用非線性動力學理論針對短時頻譜狀態持續時長進行建模并預測?；煦鐣r間序列預測是一種針對非線性時間序列的典型預測方法，可根據時間序列本身所具有的客觀規律直接建模，提高預測精度和可信度[7]。應用混沌時間序列預測的前提是進行混沌判定，以保證時間序列可以在相空間重構。

混沌時間序列Volterra自適應預測方法由文獻[8]提出，歸一化最小均方算法(Normalized Least Mean Square, NLMS)等方法在自適應預測中得到了廣泛應用。但該算法在迭代時只能采用固定步長，步長取值過小收斂速度較慢，步長取值過大預測精度降低。文獻[9]研究了一種基于后驗誤差假設并具有可變收斂因子的DFP方法的二階Volterra自適應濾波器，實現了步長自適應調整，但該算法以記憶長度m的4次方急劇增加，較高的運算復雜度造成其在硬件實現方面存在很大困難。在頻譜預測問題中，若采用上述方法則會極大限制移動終端設備預測功能的實現。文獻[8]指出，自適應收斂后的濾波系數W(n)為一稀疏矢量，這為簡化濾波器結構提高預測效率提供了可能性。在文獻[8]研究的基礎上，文獻[10]基于稀疏Volterra模型研究了一種通過減少無效濾波器系數的預測方法，降低了預測模型的復雜度，但仍存在NLMS算法的固有問題。

基于上述分析，本文以模擬無線通信系統的頻譜數據作為研究對象，采用指向導數方法進行非一致延遲時間相空間重構；采用基于尺度的Lyapunov指數(Scale-Dependent Lyapunov Exponent, SDLE)方法判斷頻譜狀態持續時長序列的混沌特性；按照限域擬牛頓(Limited storage Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno quasi-Newton, L-BFGS)方法對近似逆矩陣的遞歸更新公式進行推導；自適應剔除對預測貢獻較小的濾波器系數并降低了復雜度；最后，進行算法分析及仿真實驗。

2 頻譜狀態持續時長描述及數據獲取

2.1 頻譜狀態持續時長

本文考慮機會頻譜接入方式，即當授權用戶不存在(該頻帶空閑，也稱“頻譜空洞”)時，認知用戶才接入該頻帶，因此，在這種應用場景中，頻譜占用狀態只有占用和空閑兩種。如果在某一段時間頻譜占用狀態沒有發生改變，則將這段時長稱為頻譜狀態持續時長。通常采用頻譜感知技術確定頻譜使用狀態，由于能量感知方法[11]實現簡單，所以得到了廣泛應用?？紤]感知周期為T的情況，若經連續mi次感知，頻譜占用/空閑狀態均不變，則頻譜狀態持續時長為mT/mT，由于頻譜狀態總是占用或者空閑，假設開始時頻譜狀態是占用，則形成的時間序列為

由于T固定不變，因此，該時間序列去掉相同乘積項因子T后，記為

2.2 模擬實驗、數據獲取及預處理

本實驗架設模擬車載無線通信系統，該通信系統中的各種電磁信號通過天線之間的耦合形成嚴重的電磁干擾，對授權用戶的活動頻度造成影響。設置1個授權用戶，授權用戶模擬現實中的行為使用授權頻帶發送信號(發送信號使用的天線為雙錐天線)，設置5個認知用戶，使用DPO71604B示波器采集數據，利用文獻[11]介紹的能量感知方法進行頻譜感知，并記錄每次感知的頻譜狀態，最后根據式(2)對其進行處理，從而得到圖1所示的曲線。采用傳統線性預測方法進行頻譜狀態持續時長預測容易忽略部分影響因素，因此，考慮采用混沌時間序列預測方法對其進行研究。

3 頻譜狀態持續時長序列的混沌特性分析

圖1所示為無線電磁傳播環境下采集并處理得到的頻譜狀態持續時長序列，其具有高度非線性且非平穩。為便于分析，首先對該狀態持續時長序列u={ui},i=1,2,…,N按式(3)進行歸一化處理，歸一化后時長序列將保持原時長序列相空間中特征。

其中，u為采集到時長序列的平均值，max{u}及min{u}分別為時長序列的最大值和最小值。{xi}, i=1,2,…,N為歸一化后的時長序列。

3.1 頻譜狀態持續時長序列相空間確定性成分分析

若頻譜狀態持續時長序列中包含混沌成分，利用低通、高通、帶通等濾波器對其降噪將會破壞其確定性結構[12,13]。非線性降噪方法能夠在不破壞被測時長序列中確定性成分的情況下，對其隨機成分進行濾除，從而可進一步用于混沌特性分析。又由于被測時長序列具有很強的隨機性，因而采用非線性自適應降噪算法[14,15]對其確定性成分進行分析。

非線性自適應降噪算法首先將時長序列分成長度為2n+1的點段，鄰段相互重疊n+1個點，然后分別對每一段進行階數為K的多項式擬合。記第i段及第i+1段擬合得到的時長序列分別為y(i)(l1), y(i+1)(l2),l1,l2=1,2,…,2n +1，并定義重疊區域的擬合多項式為

y(c)(l)=ω1y(i)(l+n)+ω2y(i+1)(l), l=1,2,…,n +1(4)其中，ω1=[1?(l?1)/n],ω2=(l?1)/n 可以寫為(1?d/n),j =1,2,d定義了y(j)和y(j+1)中心之間的

jj距離。本文在采用上述方法進行降噪時參數設置如下：假設歸一化后的時長序列為{xi},i=1,2,…,N，延遲時間設為τ=30，多項式階數K=4，分段長度2n+1，其中，n=7，則相空間軌線在xi?xi+30平面上的投影如圖2所示。

從圖2中可以看出該相空間軌線存在奇異吸引子結構，因而可確定該時長序列中具有確定性成分。下面將從相空間重構方面對該序列做進一步分析。

3.2 頻譜狀態持續時長序列的非一致延遲時間相空間重構

傳統的相空間重構定理[16]中只要選取合適的嵌入維m和延遲時間τ，就可以得到與原系統同胚的嵌入系統。通過分析嵌入系統即可得到原系統的演化規律。復雜電磁環境下頻譜狀態持續時長序列具有高度非平穩性，利用傳統相空間重構法將會產生較大重構誤差。非一致延遲時間相空間重構法[17]可通過選取不同延遲時間實現對非平穩時長序列的較優重構。

假設采用非一致延遲時間相空間重構時選取的一組延遲時間為τ1,τ2,…,τm?1，此時重構后系統在時刻t的狀態矢量可以表示為：x (t)=[x(t),x(t?τ1),…,x(t?τm?1)]，其中m為重構相空間的維數。為抑制重構后各狀態量間的冗余，本文采用指向導數法[17]對時長序列進行非一致延遲時間相空間重構，如圖3所示，得到了各坐標量間冗余和延遲時間的關系，指向微分值(表示i?1維重構空間計算得到的指向微分值)越大則冗余量越小，因而延遲時間應對應各曲線的最大值，分別為(0,18,31,40,84,96)。

3.3 基于SDLE的頻譜狀態持續時長序列混沌特性分析

傳統的混沌判斷方法是通過計算由時間序列求解得到的最大Lyapunov指數是否大于零來判斷其混沌性[18]。然而，對于非平穩時長序列這一結論并不完全正確，如對經濟時間序列的分析發現其最大Lyapunov指數小于零，但其已被證明是混沌的[18]?；诔叨鹊腖yapunov指數(SDLE)不僅能夠準確地區分出低維混沌與噪聲，并且能對高維混沌及間歇混沌進行準確檢測，也能準確地對非平穩時間序列進行檢測[19]。因此，本文利用SDLE方法對頻譜狀態持續時長序列進行檢測。

在采用SDLE方法進行混沌分析時，根據3.2節重構得到的相空間中，定義兩個鄰近軌線間的初始距離為ε0，且在t時刻及t+Δt時刻之間的距離分別為εt和εt+Δt，尺度定義為

首先，尋找滿足式(5)的相空間點對(Vi,Vj)，要求初始偏離在一定的范圍內：

其次，式(5)從幾何角度定義了一個高維球殼，通過分析該球殼中點對(Vi,Vj)的平均演化規律來研究尺度。

需要指出，本文的實驗數據來自模擬無線通信系統，因此不能涵蓋所有頻譜情況。對于其他指定的頻譜數據，只有先確定其混沌特性，才可以進行混沌預測。

4 頻譜狀態持續時長的混沌時間序列預測

本節利用基于L-BFGS算法的Volterra預測模型對采樣到的數據進行預測研究。

4.1 基于擬牛頓算法的Volterra預測模型

采用擬牛頓算法的Volterra預測模型，其濾波器系數更新公式為

其中，en表示后驗誤差，其定義為

圖1 處理后頻譜占用狀態持續時長序列

圖2 降噪后頻譜狀態持續時長序列xi?xi+30平面投影

圖3 非一致延遲時間重構

圖4 基于SDLE的頻譜狀態持續時長序列混沌特性分析

μn表示步長，其表達式為

Dn?1表示輸入信號的近似自相關逆矩陣,yn表示期望信號，Un表示當前時刻的輸入向量。擬牛頓法的運算復雜度主要來自于近似逆矩陣Dn?1的更新，考慮采用L-BFGS算法[20]進行的遞歸更新，然后對濾波器結構進行優化。

4.2 采用L-BFGS法的自相關逆矩陣遞歸更新方法

采用L-BFGS法進行自相關逆矩陣的遞歸更新，更新公式為

其中，pn?1=Wn?Wn?1, qn?1=2Unpn?1,ρn?1= 1/pn?1。將式(8)代入式(6)得

由式(9)和式(10)得

令Sn=Dn?1Un/Dn?1Un,Vn=I?Sn，則式(11)可寫為

由于Vn和Sn的取值只與Dn?1和Un有關，而Dn?1的取值只與Un?1有關，因此，在算法迭代過程中，只需要記憶向量Un。使式(12)具備限域功能，也就是使Vn=I,Sn=0，可在Sn前加階躍函數κ。

4.3 濾波器結構優化

考慮采用高階Volterra級數模型進行頻譜預測。已有文獻[8]證明，在采用高階Volterra級數對混沌時間序列進行預測時其核是稀疏的，即大部分核系數為0或者接近于0。因此，考慮根據核系數對整體預測誤差的影響度進行有效性判定。

其中，式(13)表示時刻n的總誤差，式(14)表示除wi以外的其它系數與對應輸入向量乘積耦合形成的均方誤差，符號(·)c表示余集，式(15)表示系數wi對整體預測誤差的影響， 式(16)表示某系數連續多次的平均影響度，該值越大，表示其越重要。在進行算法設計時，設定閾值ε，若E()小于閾值ε，則將相應系數wi設為無效系數。由于輸入向量與濾波器系數采用乘積耦合的形式，因此，輸入向量分量ui成為無效分量，e,εn,?1,μ也要隨之變化。記剔除無效分量的濾波器系數向量和輸入向量為和，由式(7)可得新的后驗誤差為

由于濾波器系數向量和輸入向量已經改變，因此，按照式(12)自適應調整，記新的矩陣為，容易證明同樣滿足對稱正定條件[21]。雖然上述分量均產生了變化，但由于算法的基礎并沒有變，因此，與式(8)的推導類似，得到新的濾波器系數更新步長：

4.4 算法總結

根據本節所述，將基于L-BFGS的Volterra濾波器系數更新算法總結為表1。

4.5 算法分析與仿真實驗

本節首先對表1進行運算復雜度分析，為了驗證算法的有效性，進行仿真實驗。

文獻[9]指出二階Volterra濾波器的運算復雜度為O(m4)，當濾波器的階數為p時，濾波器系數數量呈指數級增長，導致其復雜度為O(mp2)。采用本文算法，由于逐步剔除無效分量，使得近似逆矩陣的維數逐漸變小，計算復雜度也隨之降低，根據文獻[8]的分析，其運算復雜度可以降低為O(m2p2)。

表1 基于L-BFGS的Volterra濾波器系數更新算法

利用采集的數據進行仿真實驗，舍棄前1000個數據，在剩余的1000個數據中，將前800個數據作為訓練數據，后200個數據作為檢驗數據，以一步預測相對誤差作為評測標準，其定義為

根據第3節的分析，本文采集到的數據嵌入維數m=5，因此將模型的記憶長度選擇為5，在記憶長度不變情況下，采用三階截斷Volterra模型，分別考察基于Davidon-Fletcher-Powell方法的二階Volterra預測(the Davidon-Fletcher-Powell-based Second Order of Volterra Filter, DFPSOVF) 模型和本文算法(閾值ε=10?6)的一步預測誤差，并考察了訓練結束后剩余的濾波器系數數量。表2給出了兩種算法產生的一步誤差和濾波器最終的系數數量，從表中可以看出，兩種算法的一步誤差在同一量級，但是，本文算法濾波器數量較少，也就是說，相似逆矩陣的維數變小，從而使算法的復雜度變小。

圖5和圖6分別為采用本文算法的預測值與原信號的對比和相對誤差圖，可以看出本文算法能精確預測原信號，預測誤差的數量級為10?2。頻譜預測技術作為頻譜感知的輔助手段，通過預測將來頻譜占用狀態，提高頻譜感知整體性能，本文算法的預測精度能夠滿足此種場景的需求。

表2 兩種算法對本文時間序列的預測效果比較

為了考察不同的閾值對預測性能的影響，分別對ε取10?8,10?7,10?6,10?5,10?4,10?3的情況進行仿真，結果如圖7所示?？梢钥闯?，隨著閾值的增加，雖然Volterra核逐漸減少，但是預測的誤差逐漸增大，原因是閾值增加導致一部分有效的核系數被刪除，Volterra非線性模型逼近時間序列的能力降低，進而導致預測偏差較大。然而，在實際應用中，除應考慮預測誤差外還應考慮運算復雜度，由于增大閾值可以減小其復雜度，綜合考慮上述兩方面影響因素，本文中ε取10?6～10?4可以取得較好的預測效果。

5 結束語

本文采用非線性自適應降噪方法針對復雜電磁環境下頻譜狀態持續時長序列進行去噪，從而判定該序列中具有混沌確定性成分；通過選取不同的延遲時間，利用非一致延遲時間相空間重構算法對該序列進行重構；最后利用基于尺度的Lyapunov指數(SDLE)方法對該序列混沌特性進行分析并驗證?；谏鲜鲅芯?，本文采用限域擬牛頓算法實現了Volterra模型濾波器系數的自適應調整，并針對近似逆矩陣?1運算復雜度大的問題，在濾波器系數的訓練過程中，保留有效分量進行下一次訓練，仿真結果表明算法的有效性。

圖5 歸一化原信號和預測信號的對比

圖6 本文算法預測誤差

圖7 預測誤差隨閾值的變化

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張 茜： 女，1986年生，博士生，研究方向為認知無線電、壓縮感知.

劉光斌： 男，1963年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為電磁兼容、認知無線電等.

郭金庫： 男，1980年生，博士，講師，研究方向為認知無線電、信號時頻分析與稀疏表示等.

余志勇： 男，1972年生，博士，教授，研究方向為電磁環境效應與頻譜管理等.

Prediction of Spectrum State Duration Based on Chaotic Time Series Modelling

Zhang Qian Liu Guang-bin Guo Jin-ku Yu Zhi-yong
(The Second Artillery Engineering University, Xi'an 710025, China)

In order to enhance the spectrum utilization, this paper uses the nonlinear dynamics theory for modeling and prediction of spectrum state duration. Firstly, the real spectrum state duration is investigated. Then, this study uses the directional derivative to accomplish the state-space reconstruction of the spectrum time series with the non-uniform time delays. Finally, the Scale-Dependent Lyapunov Exponent (SDLE) is used to determine the characteristics of chaos. Based on the Davidon-Fletcher-Powell-based Second Order of Volterra Filter (DFPSOVF) method, a novel Volterra model with adaptive coefficient adjusting using Limited storage Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno quasi-Newton (L-BFGS) method is proposed. Furthermore, the proposed model is applied to predict the short-term spectrum with chaotic characteristics. To reduce the complexity of this new model, the useless filter coefficients are eliminated adaptively. The numerical simulations show that the new algorithm can reduce the complexity and guarantee prediction accuracy.

Spectrum sensing; Spectrum prediction; Chaos; Limited storage quasi-Newton method

TN92

： A

：1009-5896(2015)04-0868-06

10.11999/JEIT140959

2014-07-21收到，2014-12-11改回

國家自然科學基金青年科學基金(61201120)資助課題

*通信作者：張茜 snmeg@163.com