一道無理函數值域問題的變式探究

邱明武

（江西省信豐縣第七中學）

函數值域的求法是高中函數教學中的重點，同時也是難點，其常用方法有：觀察法、反函數法、分離常數法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、單調性法、求導法、函數的有界性法、數形結合法等等.這道題主要考查無理函數值域的求法，而無理函數值域的常用求法有：單調性法、反函數法、配方法、換元法、求導法、數形結合法、構造解析幾何模型法等。首先來探究一下本題的解決方法，如下：

解法1（單調性法）

解法2（反函數法）

這道題的兩種解法平時教學多次滲透，學生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起來達不到應用自如、熟能生巧、舉一反三的地步.觀察這道題的結構，不難聯想到這道題的變式題又如何求解？下面就讓我們來探究一下這道題的變式求解吧.

評注 這道題雖含根式看似很復雜，但若分析其單調性來求值域就很簡單了.因此對某些求函數的值域或最值問題，可以從函數的單調性角度來考慮.