2015 年高考導數壓軸題解題探究

孫麗娟

（云南省會澤縣茚旺高級中學）

【考點介紹】

1.導數與函數單調性、極值、最值的直接應用.

2.交點與根的分布.

3.不等式證明：（1）作差證明不等式；（2）變形構造函數證明不等式；（3）替換構造不等式證明不等式.

4.不等式恒成立求字母范圍（“兩分法”）：（1）恒成立之最值的直接應用；（2）恒成立之分離參數；（3）恒成立之討論字母范圍.

5.導數與函數性質的綜合運用.

6.導數與三角函數結合.

【常用結論記憶】

（三）不等式的證明（作差法、變形構造函數法、替換構造函數法）

（最值、作差、變形構造函數、替換構造函數）已知函數f（x）=ln（x+1）-x.

（1）求函數f（x）的單調遞減區間.

2.ex＞x+1，x>0.

3.x＞ln（x+1），x>0.

4.ln x＜x＜ex，x＞0.

【例題講解】

（一）導數與函數單調性、極值、最值的直接應用

（四）不等式恒成立求字母范圍

（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處切線方程為y=3x+1，求函數f（x）的解析式.

（2）討論函數f（x）的單調性.

（1）求g（x）的表達式.

（2）當m=e 時，求曲線f（x）在點（e，f（x））處的切線方程及函數f（x）的單調區間.

（3）若堝x∈R+，使f（x）＜0 成立，求實數m 的取值范圍.

（4）若x∈（0，+∞），f（x）≤0 恒成立，求實數m 的取值范圍.

（1）當a=0 時，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程.

（2）當x≥1 時，若關于x 的不等式f（x）≥0 恒成立，求實數a的取值范圍.

（3）當x≥0 時，若關于x 的不等式f（x）≥0 恒成立，求實數a的取值范圍.

3.（分離常數）已知函數

（1）試判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明你的結論.

（6）若對任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），求實數m 的取值范圍.

（二）交點與根的分布

（交點個數與根的分布）已知x=3 是函數f（x）=aln（1+x）+x2-10x 的一個極值點.

（1）求a.

（2）求函數f（x）的單調區間.

（3）若直線y=b 與函數y=f（x）的圖象有3 個交點，求b 的取值范圍.

（3）求證：（1+1×2）（1+2×3）…［1+n（n+1）］>e2n－3.

（1）求函數f（x）的單調區間.

（1）求a，b 的值.

（五）導數與函數的綜合應用

（1）求a，b 的值.

（2）不等式f（2x）-k·2x≥0 在x∈［-1，1］上恒成立，求實數k的范圍.

（六）導數與三角函數結合

已知函數f（x）=x，函數g（x）=λf（x）+sin x 是區間［-1，1］上的減函數.

（1）求λ 的最大值.

（2）若g（x）＜t2+λt+1 在x∈［-1，1］上恒成立，求t 的取值范圍.