二次函數的“隱形”應用

胡上生

（江西省信豐中學）

二次函數是高中最重要的基本初等函數之一，是各章節知識之間連接的紐帶與載體.有這樣一類函數，表面上看起來不是二次函數，但實際上換元之后得到一個二次函數，由此可以利用二次函數的性質來解決這類問題，像這類函數稱之為“隱形”的二次函數.下面筆者通過具體實例來認識二次函數的“隱形”應用.

簡解：令3x=t，則t＞0，從而問題就等價轉化為一元二次方程t2+（4+a）t+4=0 在（0，+∞）上有兩個實根.再令f（t）=t2+（4+a）t+4（t＞0），

簡解：原方程等價于m=-cos2x+2cosx，由于cos2x=2cos2x-1，

所以m=-2cos2x+cosx+1，m 是關于cosx 的二次函數，這就是

例5.設函數f（x）=ax2-2x+2，對于滿足1＜x＜4 的一切x 值，都有f（x）＞0，求實數a 的值.

簡解：由于原二次函數的開口方向及對稱軸都未知，所以利用

通過上述幾例，不難發現“隱形”的二次函數其實就是外層函數為二次函數，內層函數為各類函數的復合函數，它在高中數學解題中有著廣泛的應用，并且運用過程中又貫穿著函數與方程，轉化與歸化，分類與整合等重要的數學思想方法.