淺談夯實基礎培養學生的數學素質

吳靈喜

（浙江省蘭溪第三中學）

圓錐曲線在數學上是一個非常重要的幾何模型，有很多幾何性質，這些重要的幾何性質在日常生活、社會生產及其他科學中都有著重要而廣泛的應用，并且學習這部分內容對于提高自身的素質是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類，在高考中有著重要的地位.特別地，在導數引入高中數學，對拋物線的考查就更為頻繁.在學習了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質之后，為了更好地理解拋物線的定義，筆者從下面幾個方面進行說明.

一、鞏固拋物線的定義

1.到點A（1，1）的距離與到直線l:3x-4y+1=0 的距離相等的點的軌跡是 （ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

解析：粗看滿足拋物線的定義，再仔細一看，易發現點A∈l，點的軌跡為經過點A 且垂直于直線l 的一條直線. 這有助于理解拋物線的定義——直線外的一點.

2.經過點F（2，0）且與直線l:x=-2 相切的動圓的圓心M 的軌跡是 （ ）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

解析：由圓的性質及直線與圓相切的性質可知，圓心到切線的距離等于半徑，又點F 在圓M 上：即圓心M 到定點F 的距離等于到定直線l 的距離，滿足拋物線的定義，所以動圓心M 的軌跡是拋物線.

變式1：到點F（2，0）的距離比到直線l:x=-1 的距離大1 的點的軌跡是 （ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

解析：把直線l 向左平移一個單位，可以轉化為l′∶x=-2，到定點F（2，0）的距離等于到定直線l′:x=-2 的距離，滿足拋物線的定義。

軌跡為 （ ）

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

解析：等式可化為：

根據兩點間的距離和點到直線的距離公式可得，動點M（x，y）到定點F（2，0）的距離等于到定直線l:3x+4y-2=0 的距離，滿足拋物線的定義（不是我們所熟悉的標準條件下的拋物線）.

二、拋物線定義的簡單應用

1.求焦點在x 軸上，且拋物線上一點A（3，m）到焦點的距離為5 的拋物線的標準方程.

解析：根據題意，設拋物線的標準方程為：y2=2px（p>0），如果運用兩點間距離公式，待定系數法聯立方程組解得，運算量較大.所以可根據拋物線的定義，拋物線上的點A 到準線：x=-p/2 的距離等于5，可得到p 的值，從而求得拋物線的方程.

2.已知拋物線y2=2x 的焦點是F，點P 在拋物線上，有一定點A（3，2），求｜PA｜+｜PF｜的最小值，及對應的點P 的坐標.

解析：由定義可知，拋物線上的點P 到焦點F 的距離等于點P到準線l 的距離d，所以求｜PA｜+｜PF｜的最小值，轉化為求｜PA｜+d 的最小值，由點與直線上的點的連線中垂線段最短可得，過點A 作準線的垂線，垂線段長即為所求的最小值，該垂線與拋物線的交點就是所求的點P.

變式：已知拋物線y2=2x 的焦點是F，點P 在拋物線上，有一定點A（2，3），點P 到y 軸的距離為d，求｜PA｜+d 的最小值.

解析：P 到y 軸的距離，可以延長到準線的距離，再根據拋物線的定義，轉化為到焦點的距離，即（｜AP｜+｜PF｜）-1/2 的最小值，當A、P、F 三點共線時取最小值.

3.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F 的弦AB 為直徑的圓與準線l 的位置關系 .

解析：過點A，B 分別作準線l 的垂線，垂足分別是A1，B1，取AB 的中點為C，過C 作準線l 的垂線，垂足為C1，由拋物線的定義可知：｜BB1｜=｜BF｜，｜FA｜=｜AA1｜.

∴｜AB｜=｜AA1｜+｜BB1｜.

∵CC1是梯形ABB1A1的中位線.

∴2｜CC1｜=｜AA1｜+｜BB1｜.

∴｜AB｜=2｜CC1｜，即圓心C 到準線的距離等于半徑.

∴以AB 為直徑的圓與準線l 相切.

變式：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F的弦AB，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足為A1，B1，求證：A1F⊥B1F.

解析：在△AA1F 和△BB1F 中，根據拋物線的定義可知，｜AF｜=｜AA1｜，｜BF｜=｜BB1｜，

∴2∠A1FA+∠A1AF=180°，

2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，

∴∠A1AF+∠B1BF=180°，

∴∠A1FA+∠B1FB=90°，

∴∠A1FB1=90°，即A1F⊥B1F.

4.已知AB 是拋物線y=x2上的動弦，且｜AB｜=a（a 為常數且a>1），求弦AB 的中點M 的縱坐標的最小值.

連接AF，BF，在△ABF 中，｜AF｜+｜BF｜≥｜AB｜=a，當且僅當AB 經過焦點F 時取“=”.

根據拋物線的定義可知：｜AA1｜=｜AF｜，｜BB1｜=｜BF｜，

5.如下圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F 的直線l 交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若｜BC｜=2｜BF｜，且｜AF｜=3，則此拋物線的方程是（ ）

解析：過A，B 分別作準線的垂線，垂足為A1，B1，準線與x 軸相交于點K，則｜BF｜=｜BB1｜.

∵｜BC｜=2｜BF｜，∴｜CB｜=2｜BB1｜，∴∠B1CB=30°，

∴｜AC｜=2｜A1A｜=2｜AF｜=6，

∴F 為AC 的中點.

∴拋物線的方程為y2=3x.

通過以上幾個例子，讓我們能夠進一步理解拋物線的定義，能更好地解決與拋物線有關的焦半徑問題和焦點弦問題，解決有關拋物線的最值問題和定點、定值問題.重視概念的理解是掌握基礎知識的第一步，是發展學生基本技能，培養學生的運算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力的基礎，是培養學生數學素養的基礎.

任志鴻.高中同步測控優化訓練：數學［M］.人民教育出版社，2012-09.