曳引電梯提升動力學建模及仿真研究

吳仁愿，曹國華，岳 嶺

（1.中國礦業大學，徐州 221116；2.東南電梯股份有限公司，蘇州 215100）

0 引言

隨著經濟的快速發展和社會的不斷進步，樓層越來越高，曳引電梯也日益朝著大高度高速度發展。振動是影響電梯舒適性的重要因素，對于高速電梯尤為重要。因此，對曳引電梯提升動力學進行研究，在設計階段掌握曳引電梯的振動情況具有重要的現實意義。

國內外專家學者對曳引電梯的提升動力學做了諸多研究，文獻[1～4]建立電梯系統動力學模型時忽略了曳引鋼絲繩本身的質量，而將其僅僅看作一個隨鋼絲繩懸掛長度變化的彈簧-阻尼器；文獻[5, 6]將每一段鋼絲繩被分割為若干個具有時變參數的質量-彈簧-阻尼器系統，各參數均隨著電梯轎廂的運動而變化，建立運動方程時要考慮曳引鋼絲繩的每一段離散質量，因此方程組的維數要增加很多，當鋼絲繩分割的段數越多，模型就越真實，但計算量呈幾何級數的增加。采用瑞利方法能量原則對曳引繩的質量進行處理。

1 動力學模型的建立

本文建立的曳引比為1:1的電梯機械系統7自由度動力學模型如圖1所示。

圖中：m1、J1、r1分別為曳引輪的質量、轉動慣量和轉動半徑；m2、J2、r2分別為導向輪的質量、轉動慣量和轉動半徑；m30為對重質量，m3x為對重側補償鏈的質量，m3為對重及對重側補償鏈的總質量；m40為轎架質量，m4x為轎架側補償鏈和隨行電纜的質量，m4為轎架及轎架側補償鏈和隨行電纜的總質量；m50為轎廂質量，m5x為載重質量，m5為轎廂及載重的總質量；kT、cT分別為曳引系統抗扭剛度、等效轉動阻尼；k10、c10分別為曳引機底座橡膠及曳引機處承重梁的等效剛度、等效阻尼；k1t、c1t分別為曳引輪與導向輪之間的曳引繩的等效剛度、等效阻尼；k2、c2分別為導向輪處承重梁的等效彈簧剛度、等效阻尼；k3t、c3t分別為對重側曳引繩的等效彈簧剛度、等效阻尼；k30、k40為繩頭彈簧的彈簧剛度；c30、c40為繩頭彈簧的等效阻尼；k4t、c4t分別為轎廂側曳引繩的等效彈簧剛度、等效阻尼；k5、c5分別為轎廂底部減振橡膠的等效彈簧剛度、等效阻尼；x1～x5分別為m1～m5的振動線位移；φ1、φ2分別為曳引輪和導向輪的振動角位移。

圖1 曳引電梯動力學模型

對于該系統，采用拉格朗日(Lagrange)方程建立其動力學方程，有：

式中，T、D和U分別為系統的動能、耗散函數和勢能；qi和Qi分別為對應于第i個自由度的廣義位移和廣義外力。

系統的動能包括所有慣性元件的動能及曳引繩的動能，對于曳引繩的動能，下面采用瑞利法進行處理。轎廂側曳引繩的靜位移如圖2所示，假設轎廂側曳引繩的變形是均勻的。因此，在距離轎廂y處曳引繩的位移與速度分別為：

圖2 轎廂側曳引繩的靜位移

在電梯運行過程中，轎廂側曳引繩l1的動能為：

同理可得曳引輪與導向輪之間的曳引繩l2的動能為：

同理可得對重側曳引繩l3的動能為：

因此，系統的總動能T為：

系統的耗散函數D為：

系統的總勢能U為：

將上述結果代入方程(1)并整理成如下矩陣形式：

式中，[M]、[C]、[K]分別為系統的廣義質量矩陣、廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣；{}Q分別為系統的廣義加速度、廣義速度、廣義位移及廣義外力向量。其中，系統的廣義位移向量為用求虛功的方法可求得系統非有勢力的廣義外力向量為系統的質量矩陣[M]、阻尼矩陣[C]和剛度矩陣[K]分別為：

式中，E、A分別為曳引繩的彈性模量、等效橫截面積；l1為轎廂側曳引繩的長度；l2為曳引輪與導向輪之間的曳引繩的長度；l3為對重側曳引繩的長度。

2 動力學模型的求解

上述式(2)進一步轉化為：

寫成如下方程組的形式：

根據上式，可統一表示為：

由上式，可通過數值方法計算廣義坐標值Y，從而可確定轎廂的振動加速度和振動速度等。

3 實例仿真

下面本文以東南電梯股份有限公司生產的礦用電梯樣機為例，求解該曳引電梯系統的動態響應。該電梯的配置參數如表1所示。

表1 礦用電梯樣機配置參數

該電梯采用梯形速度曲線，轎廂的運動加速度如圖3所示。

圖3 轎廂的運動加速度

根據表1中的參數，采用Newmark-β法(?=1/2, β=1/4)求解可得曳引電梯在空載上行時轎廂轎架及對重的振動加速度隨行程的變化如圖4所示。

圖4 轎廂上行時電梯系統的響應

由以上仿真結果，可以分析得到如下結論：

1）綜合分析圖3～圖4，發現在轎廂運動加速度不光滑的時刻，振動加速度往往突然增大，在以后規劃電梯加速度曲線時宜采用光滑的加速度曲線，如正弦曲線。

2）由圖4可知，轎廂及對重的振動加速度在井道頂部時要比井道底部時小，這是由于在井道頂部時曳引繩的等效彈簧剛度比在底部時大，這也體現了電梯提升系統的時變特性。

4 結束語

本文采用瑞利法處理電梯曳引繩的質量，建立了曳引比為1:1的斜行電梯機械系統7自由度動力學模型，并闡述了曳引電梯系統動力學模型的求解方法，最后以礦用電梯樣機為例運用MATLAB軟件編程求得該電梯系統轎廂及對重振動加速度的變化規律，對于電梯系統的減振設計具有一定的參考價值。

[1] Nai K, Forsythe W and Glldall R M. Modeling and simulation of a lift system [C].International conference on control,1992,14(9): 56-60.

[2]張長友,朱昌明,吳廣明.電梯系統垂直振動分析與抑制[J].振動與沖擊, 2003(4):74-77.

[3]張長友,朱昌明.電梯系統動態固有頻率計算方法及減振策略[J].系統仿真學報,2007(16):3856-3859.

[4]劉?；?任勇生,單淮波.電梯系統垂直振動動態特性研究[J].山東科技大學學報(自然科學版),2010(1):62-66.

[5]Roberts R.Control of high-rise/high-speed elevators.Proceeding of the 1998 American Control Conference (ACC 1998)[C].Philadelphia,1998:3440-3444.

[6]剛憲約.曳引電梯系統動態理論及動力學參數優化方法研究[D].杭州:浙江大學,2005.