復合環境試驗夾具靈敏度分析及多目標優化設計

李海峰，劉建波，鄧谷雨，王東升

（1.中國工程物理研究院 計算機應用研究所，綿陽 621999；2.中國工程物理研究院 總體工程研究所，綿陽 621999）

0 引言

武器產品在使用過程中將遇到振動、加速度、溫度、噪聲等惡劣環境，為保證使用可靠性，需要通過大量地面環境模擬試驗來判斷、評估其環境適應能力[1]。當前，受限于技術水平，多數環境試驗只針對某單一環境因素進行，但在武器產品貯存、運輸和使用過程中常常受到多種環境因素共同作用，并且不同環境因素之間相互影響，如高溫與振動兩種環境同時作用會相互強化對方的影響。在許多情況下，多環境因素共同作用比其中任何一種單一環境因素對武器產品的影響更嚴重。隨著計算機、自動控制技術的發展和武器產品研制的需求，工程上迫切需要開展復合環境試驗研究。

夾具是連接振動臺和試件的過渡裝置，起著連接或固定試件、傳遞能量和運動的作用。夾具結構設計是模擬環境試驗中一個非常重要的環節，試驗安全性、結果可信度與其結構設計、制造及安裝、使用水平密切相關。夾具特性對試件響應的影響非常顯著，往往關系到試驗能否順利實施、武器產品能否按規定的環境條件經受考核。當夾具發生共振時，輸入和輸出將不再保持相同的值，并且夾具上各點運動參數也不再保持一致，這將對試驗結果產生很大影響[2]。因此，理想的夾具是在試驗條件下不破壞、不出現共振，且具有足夠的剛度將振動臺的能量傳遞給試件。

由于振動平臺環境信息不足并且平臺動力學特性設計難度大，目前國內外工作重點仍關注于夾具結構設計，并以實現載荷傳遞為首要目標[2]。在國內環境試驗中，大都采用經驗設計結合有限元方法進行夾具設計，基本能滿足試驗要求，但存在設計周期長、改進后性能提高小等缺點。因此，需要根據實際情況對夾具結構進行優化并改進設計，重點關注夾具結構的質心、強度、剛度、動力及抗振特性、質量及綜合性能，最終使夾具滿足試驗要求，做到設計工作周期短、質量高、效率高、成本低。

本文根據工程實際，從安全角度角度出發，提出了對某振動—加速度復合環境試驗夾具結構尺寸進行優化設計的方法。以結構固有振動頻率和承載時應力為響應，以尺寸為設計變量，由響應面法[3]得到各響應與設計變量的函數關系，求出其靈敏度。根據目標重構法[4]將各單目標響應耦合，用約束非線性最優化方法[5]，引入約束條件尋優，求得夾具結構響應多目標優化結果。其目的是在滿足夾具質量和外形尺寸約束條件下，如何設計在慣性載荷與振動載荷聯合作用下動態特性最優的試驗夾具。

1 夾具結構

該復合環境試驗夾具呈“U”型結構，由底板、立板、側板、加筋板及試驗件（圓柱1與圓柱2組成）組成，其結構對稱，如圖1所示。夾具結構底板處通過螺栓與振動臺連接，立板夾持放置試驗件，加筋板固定支撐立板。夾具結構各板件長寬已定，厚度取值可變。

圖1 夾具與試件結構示意圖

夾具主要承受垂直于底板平面的加速度慣性荷載。其約束條件為設計變量約束和質量約束，設計變量約束需要滿足一定的取值范圍，質量約束為夾具結構總質量不超過某限定值。

為盡量避免發生共振，需要夾具結構上下振動固有振動頻率盡可能高；為滿足強度條件在加載時夾具結構不至破壞，需要夾具結構底板、立板最大應力盡可能小，不超過材料屈服應力或最大許用應力。在對該結構進行優化時，首先使單方面的要求得到最大程度的滿足，這需要對頻率、底板最大應力、立板最大應力分別進行單目標優化分析。實際上，各響應單目標尋優過程中設計變量的變化趨勢、變化幅度一般并不一致，甚至存在沖突，即在某單目標優化達到最優時，另一單目標優化并不在最佳狀態。為綜合考慮各目標的優化效果，使夾具結構總體安全性能達到最優，在進行各單目標優化之后，然后將各單目標響應按某種方式進行耦合，進行多目標優化分析。

2 夾具結構響應數學模型

2.1 響應數學模型

根據夾具結構的設計要求，確定了夾具結構的三個響應：上下振動頻率f、底板最大應力Sb、立板最大應力Ss；結構設計變量分別為底板厚度x1、立板厚度x2、加筋厚度x3，其變量響應關系記為。

2.2 響應數據源

建立夾具結構的有限元模型，通過模態分析和靜力分析獲得不同設計變量取值下結構的頻率、應力取值。底板、立板、側板、加筋板采用四邊形殼單元建模，試驗件采用六面體實體單元建模。

設變量x1、x2、x3的取值范圍，分別為通過對設計變量取值范圍線性插值的方法獲取工況樣本，如將各變量最大增量等分，變量取值如所示，則各變量取值組合共有n3種工況，分別計算此n3種工況獲得夾具振動頻率和底板、立板最大應力隨變量變化的數據源，記為。

2.3 擬合公式

其中，xi為各工況的變量取值，yi為計算所得與變量對應的響應值。顯然，Q是以為變量的多元函數，式（3）為多元函數的極值問題。

由多元函數極值必要條件，有：

即：

即為最小二乘擬合問題的法方程組。

P(x)為所求的最小二乘擬合，即式（1）中的(x)。

根據以上思路與方法，可以得到夾具結構上下振動頻率、底板與立板最大應力關于變量x1、x2、x3的完整的擬合公式如式（8）～式（11）所示。

3 夾具結構靈敏度方程的建立與求解

夾具結構靈敏度分析是研究夾具結構的三個響應（上下振動頻率f、底板最大應力S1、立板最大應力S2）對三個設計變量（底板厚度x1、立板厚度x2、加筋厚度x3）變化的敏感程度，靈敏度的高低反應了夾具結構在參數改變時對設計函數的影響，可用來評價夾具結構優化的可行性，識別夾具結構的臨界值、極限值或破壞值，確定夾具結構最優解的搜索方向。

約束條件下，令響應的靈敏度函數均等于零，獲得響應的靈敏度方程組，該方程組的解的意義為：夾具結構在滿足設計約束時，響應取得極值或駐值。為將約束條件引入響應的靈敏度方程組，需采用拉格朗日乘子法[7]。

已知夾具結構的約束條件為質量約束，即其質量不大于某定值M，可表示為式（12）的形式。

的函數。

引入松弛變量x4，將夾具結構的質量不等式約束式（12）轉化為等式約束：

該方程組為非線性方程組，可用牛頓迭代法進行求解，其迭代公式為：

牛頓迭代法的收斂結果即為方程組（14）的數值解，排除駐值，將響應的極值與下面單目標優化結果做對比，可驗證響應單目標優化的精確性。

4 夾具結構優化設計

4.1 夾具結構單目標優化

本文單目標優化的目標分別是：上下振動固有頻率最大；底板最大應力最小；立板最大應力最小。當將該固有頻率的負值最小作為優化目標時，其單目標優化的數學模型可統一表示為：

其中，響應y可表示夾具結構固有頻率、底板最大應力和立板最大應力。

采用增廣拉格朗日乘子法，引入松弛變量將式（17）轉化為等式約束問題：

引入罰因子T≥0和拉格朗日乘子λ，以為λ的k次迭代，定義增廣拉格朗日函數：

即：

設允許誤差ε＞0，當有時，迭代終止，為式（22）的最優解，即式（17）的最優解。其計算迭代過程可通過MATLAB編程實現，優化結果如表4所示。

4.2 夾具結構多目標優化

該夾具結構優化具有兩個特點：各設計變量為連續變化的實數；各單目標優化的層次相同且優化順序沒有先后之分。結合多目標優化各方法的特點，本文采用重構目標法[4]中的理想點法。

理想點法的理論基礎為：在可行域中，絕對最優點一般是不存在的，但是對于分目標函數卻容易找到其各自的最優解，如果使各分目標函數盡可能接近于各自的最優解，就可以求出較好的優化結果。

理想點法構造的單目標函數為：

其中，iα表示權重，反映了各單目標函數在整個多目標優化問題中的重要程度。

據此，本夾具結構優化模型中，其多目標優化方程將轉化為如下單目標函數：

式中：x為設計變量組成的向量；f為擬合所得頻率公式；S1為擬合所得底板最大應力公式；S2為擬合所得立板最大應力公式分別為對應的單目標優化結果數值（如表4所示）。

夾具結構的多目標優化問題就轉化為求該目標函數取最小值的問題，可用單目標優化的方法來求解。

5 優化算例

形如圖1所示的夾具結構，其各板尺寸如表1所示，材料參數如下：密度ρ為2.80x10-9t/mm3、彈性模量E為70000MPa、泊松比μ為0.33、材料屈服極限sσ為220MPa。圓柱尺寸如表2所示，總質量為1.3t，關于X—Z面前后對稱，關于Y—Z面左右對稱，其中心軸與x軸平行，在Z向的垂直高度為855mm。

表1 夾具結構底板、立板和加筋尺寸

表2 圓柱1、2尺寸

設計變量x1、x2、x3的初始數值為50、50、30mm，其取值范圍限定為[30,90]、[30,90]、[10,50]。采用本文方法進行多目標優化，得到各個設計變量取值如表3所示。初值計算結果、多目標優化結束時各響應取值、各響應單目標優化結果及各響應靈敏度方程組的零解對應的響應極值如表4所示。同時，本文給出各響應的Nastran單目標優化結果做為參考。

表3 夾具結構多目標優化結果

表4 夾具結構單、多目標優化結果比較

從表3、表4可看出，各響應的靈敏度方程組零解對應的極值與單目標優化值完全吻合，與Nastran單目標優化值十分接近，說明本文方法具有可行性和較高的精確度；多目標優化目標函數值與單目標優化值相當接近，最大相對誤差5.10%，說明取得較好的優化結果。

6 結論

1）本文研究了某振動-加速度復合環境試驗夾具結構優化設計，提出了一種該類夾具結構的單目標和多目標優化的理論方法。

2）以承載時夾具結構上下振動固有頻率和關注部位最大應力為響應，提出了用響應面法建立夾具結構的三個響應與設計變量間的函數關系，建立了響應靈敏度的計算公式，對其靈敏度方程組及其解法進行了研究。

3）給出了實現和驗證響應單目標優化的方法，利用多維有約束非線性優化法理論實現單目標優化，采用拉格朗日函數法求解響應靈敏度方程組的方法驗證單目標優化結果。

4）基于目標重構法將各單目標響應耦合，建立了多目標優化的目標函數，將夾具結構的多目標優化問題轉化為求該目標函數最小值的問題，并進行求解。算例結果表明，該多目標優化目標函數兼顧了各單目標優化的影響，具有良好的優化效果，本文提出的優化設計方法是合理、可行、有效的。

[1]鄧志剛.基于計算智能的振動—離心復合試驗夾具優化設計[D].成都:四川大學,2006,1-3.

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