權屬發證過程中圓弧段面積變化問題研究

魏金占,趙自力(1．南寧市勘察測繪地理信息院,廣西南寧 5300; ．珠海市規劃設計研究院,廣東珠海 1500)

權屬發證過程中圓弧段面積變化問題研究

魏金占1?,趙自力2
(1．南寧市勘察測繪地理信息院,廣西南寧 530022; 2．珠海市規劃設計研究院,廣東珠海 215002)

摘 要:地塊面積在轉換前后經常出現面積偏差,經分析可知當前國內地塊面積出現誤差多由圓弧段的擬合造成,通過將圓弧段模型泰勒展開,經過反算,得到滿足一定精度條件下擬合線段的數量,保證地塊面積在轉換前后達到一定精度需求。該方法原理簡單,既保證了數據入庫后面積滿足精度需求,又不會增加數據的復雜程度。

關鍵詞:圓弧段擬合；精度；地塊面積

1　引 言

城市土地的巨大價值日益得到社會共識,據搜狐網報道,2015年北京新年土地市場首次出讓,樓面價再次接近5萬元/ m2,寸土寸金毫不夸張。因此由于土地權屬產生的糾紛日益受到社會重視,而產生糾紛的原因,除了歷史問題外,很多也是由于在面積核算時沒有足夠合理科學算法,造成面積計算上的細微差異。以測量限差和儀器精度而言,1 km2誤差1 m2,誤差在1個PPM(百萬分之一),已經是當前硬件設備的極限,但如果用于土地發證很容易造成社會不穩定。當前土地發證精度要求已經達到0．01 m2,也就是說,僅僅依靠硬件手段技術提升已經不能解決此問題,必須查根溯源找出造成面積計算誤差源頭。

2　地塊面積偏差原因

地塊面積確認是非常嚴謹的法律行為,而地塊面積的核算多在CAD端完成,屬性管理多在GIS平臺實現,由于兩種平臺對圓弧段表述不同造成面積入庫后出現較大差異。眾所周知,造成面積計算誤差不外乎三類原因:一是坐標提取時精度取舍問題,如有些情況取到小數點后面兩位,有些取到小數點后三位,因此在面積核算時不可避免造成面積核算的不一致;二是對數據模型描述的差異,如樣條曲線定義不同,則以樣條曲線為邊界的地塊面積必然不同;三是在不同軟件轉換時,對曲線轉換精度取舍問題處理不當造成,如用一定數量的小段線段來擬合曲線。第一種原因即可以理解為硬件原因,第二種原因可在數據描述時采用統一模型避免出現誤差,第三種原因可通過反算確定小段線段的數量來達到精度要求。

城市管理中因某些原因,邊線表示的模型多采用直線段和圓弧段,如道路口轉彎處表示多采用圓弧段[6]。而在數據入庫時,多數GIS平臺采用多線段擬合來表示圓弧段[1,7],因此CAD制圖進入后臺GIS平臺后,在日常管理統計時就會出現制圖面積與統計面積不同的情況,如圖1所示。

圖1　CAD平臺與GIS平臺轉換前后面積差異

直接按照GIS平臺的數據模型構面后面積偏差很大[8],因此在土地面積確認中必須解決這類問題。

3　問題解決

城市管理中對于面積的要求一般要優于0．01 m2,因此當約定的精度確定后,就可以通過反向計算相關參數來實現面積不超限。

一般城市管理中多采用三點定圓模式,因此當圓弧確定后,則三點所在的圓弧對應的圓心角也就確定,唯一不確定的就是用多少段小段線段來擬合圓弧[2,3],如圖2所示。

圖2　通過擬合小段線段的數量來控制擬合精度

其中每個三角形與對應扇形面積之差即為引起面積偏差的主要原因[4,8],上圖顯示,下半部分的擬合引起誤差小于上半部分。

4　數學推理及程序實現

如上文所述,城市權屬發證面積精度要求在0．01 m2以內,因此可以做以下數學計算和推理。假設誤差面積為0．01,半徑為R,切分小段段數為n,圓弧段圓心角a,則圓弧段引起的面積誤差為:

(1/2)×R×R×[a-n×sin(a/ n)] =0．01

將sin(a/ n)按照泰勒級數展開,以上方程即為:

a-n×a/ n+n×(a/ n)3/6-n×(a/ n)5/120…=1/ (50 ×R2)

因a很小,n×(a/ n)5/120及以后的部分可以進行簡略,上式可以簡化為:

n×(a/ n)3＜6/ (50×R2)

則可求得n的取值范圍:

n＞sqrt[(25×R2a3) /3]

通過以上數學推理可知,三點定圓滿足一定面積精度需求的小線段數量n即可確定。對于參數中的半徑和圓心角,可以通過如下算法實現。

首先確定圓的半徑,具體如下:

設X,Y,R為未知,x1,y1,x2,y2,x3,y3為常數,x1, y1,x2,y2分別為圓弧段起始點和末端點,X,Y,R分別代表圓心坐標和半徑。帶入圓方程,如下:

式(1)-式(2),就是左邊減左邊,右邊減右邊,得到:

整理得:

式(2)-式(3)整理得:

再整理上面兩式得:

為了便于程序實現,作如下假設:

a=2×(x2-x1);

b=2×(y2-y1);

c=x2×x2+y2×y2-x1×x1-y1×y1;

d=2×(x3-x2);

e=2×(y3-y2);

f=x3×x3+y3×y3-x2×x2-y2×y2;

則通過數學推理可得:

X=(b×f-e×c) / (b×d-e×a);

Y=(d×c-a×f) / (b×d-e×a);

R=sqrt[(x-x1)×(x-x1)+(y-y1)×(y-y1)]。

圓心角的計算如圖3所示:

圖3　圓心角計算示意圖

已知圓心坐標(X,Y),圓弧段兩端的坐標,則通過三角函數可知,三角形OAD中AD邊對應的頂角即為圓心角的一半,即:

0．5×a=arctan(AD/ AO)

上式變換后,a=2×arctan(AD/ AO)

AD邊長為AB邊長一半,AO邊長為半徑,其中AB邊長計算如下:

AB=sqrt[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

以上公式可以變換為:

a=2×arctan{sqrt([x1-x2)2+(y1-y2)2] / (2×R)}

由此即可計算出在圓弧段引起面積的誤差在限差內的各項參數了。

對于其他定義的圓弧段,如圓心和兩端點、圓心和起始點及圓心角等,同樣可以通過計算半徑和圓弧段的圓心角來反算以上相關參數。

5　小 結

城市管理中對于土地面積的確認非常嚴謹,本文通過對引起面積偏差的原因進行初步分析,提出合理可行的解決方案。

雖然通過其他手段如屬性字段或者擴展屬性記錄面積信息,但在頻繁的數據互轉時很容易丟[5]。而該方案通過反算擬合線段的數量來保證轉換前后面積在容差之內,可以保證轉換后的數據再轉入其他GIS平臺或CAD平臺精度不降低。此外該方案實現原理簡單,易于編程實現,是當前解決不同平臺因圓弧段引起面積偏差的有效手段,不足之處是造成一定的數據節點的增加。隨著IT技術提升,節點增加造成的效率降低問題幾乎可以忽略。此外該方法僅用于處理圓弧段,對于橢圓弧、樣條曲線弧等未作深入分析,也是后續研究需要加強的地方。

參考文獻

[1] Bentley Corporation．MicroStation V8 Visual Basic for Applications help[Z]．USA,Bentley Corporation,2004．

[2] 魏金占,熊旭平,施真娥．MapInfo中折線分割功能的擴展[J]．信息技術與信息化,2005(1):13～15．

[3] 魏金占,唐媛．數據轉換中弧線失真問題的研究[J]．城市勘測,2014(1):82～85．

[4] 楊光,于野．GIS與CAD的特點[J]．東北測繪；1998 (1):22～23．

[5] 宋偉東,符韶華．DLG到GIS的數據轉換方法研究[J]．測繪通報；2004(2):54～56．

[6] 白洪濤,張其林,魏吉東．尋找任意線段和圓弧圍成區域的一種算法[J]．計算機應用；2001(10):36～37．

[7] 北京超圖軟件股份有限公司．SuperMap Objects開發教程(初級篇)[Z]．北京,北京超圖軟件股份有限公司,2008．

[8] 北京超圖軟件股份有限公司．SuperMap Objects開發教程(中級篇)[Z]．北京,北京超圖軟件股份有限公司,2008．

Study of Land Area Deviation During the Course of Land Area Identification

Wei Jinzhan1,Zhao Zili2
(1．Nanning Explore and Survey Geoinformation Insititute,Nanning 530022,China; 2．Zhuhai Institute of Urban Planning & Design,Zhuhai 519000,China)

Abstract:There is always area deviation during the conversion of different data．It is the curve fitting that causes the deviation of land area nowadays．By analyzing the Taylor expansion of curve model,the number of poly-lines is calculated which satisfies the demands of the precision control during the land area identification．The new method is very simple,which not only ensures the land area’s precision but also does not increase the complexity of the ownership conversion．

Key words:arc fitting;precision;land area

文章編號:1672-8262(2015)05-103-03中圖分類號:P209

文獻標識碼:B

收稿日期:?2015—06—08

作者簡介:魏金占(1980—),男,碩士,注冊測繪師,研究方向:GIS應用、遙感、測繪信息化等。

基金項目:珠海市規劃設計研究院2014年度科研計劃《DEM數據在規劃編制中的應用》。