狀態(tài)觀測(cè)器在直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用

馬燕++徐立軍

摘 要：本文利用了MATLAB仿真平臺(tái)對(duì)設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行仿真，并將其應(yīng)用在直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，證明了控制器設(shè)計(jì)的正確性與有效性；最后在基于狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺閉環(huán)控制系統(tǒng)上施加了隨機(jī)擾動(dòng)，通過SIMULINK仿真分析狀態(tài)觀測(cè)器的抗干擾能力。

關(guān)鍵詞：直線一級(jí)倒立擺；狀態(tài)觀測(cè)器；抗擾性

0 引言

對(duì)于完全能控的線性定常系統(tǒng)，可以通過線性狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，并使系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下漸進(jìn)穩(wěn)定。但由于種種原因（外界干擾等），系統(tǒng)的狀態(tài)變量不能直接測(cè)量， Luenberger提出的狀態(tài)觀測(cè)器理論，解決了在確定性條件下受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問題。當(dāng)系統(tǒng)完全可觀時(shí)，狀態(tài)反饋成為一種現(xiàn)實(shí)的控制律，狀態(tài)觀測(cè)器的物理實(shí)現(xiàn)成為可能[2]。倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)、通過人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺，是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是重心在上、支點(diǎn)在下控制問題的抽象，使其更具有研究?jī)r(jià)值和意義。

1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1.1 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型

倒立擺系統(tǒng)是一種復(fù)雜的要求快速性很高、有很強(qiáng)的非線性系統(tǒng)。為了簡(jiǎn)化直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析，在建立實(shí)際數(shù)學(xué)模型過程中，基于以下假設(shè)：

（1）忽略空氣阻力；（2）將系統(tǒng)抽象成小車和均質(zhì)剛性桿組成的系統(tǒng)；（3）忽略擺桿與支點(diǎn)之間等的各種次要摩擦阻力；（4）皮帶輪與傳送帶之間無滑動(dòng)，傳送帶無伸長(zhǎng)現(xiàn)象。

通過簡(jiǎn)化倒立擺模型，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

其中，x—表示小車的位置；—表示小車的位移；—表示擺桿與垂直方向的夾角；—表示小車的角速度。

假定系統(tǒng)物理參數(shù)設(shè)計(jì)如下表所示。

將其在Matlab/Simulink里面搭建仿真模型[2]，如圖1所示，仿真結(jié)果如圖2所示。

由SIMULINK仿真結(jié)果可以看出，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。

1.2 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控能觀性

在MATLAB環(huán)境中，編寫如下輸入程序：

A=[0 1 0 0；0 -0.0914849 0.689655 0；0 0 0 1；0 -0.234577 26.8966 0]

B=[0；0.914849；0；2.34577]

C=[1 0 0 0；0 0 1 0]

M=ctrb（A，B）

N=obsv（A，C）

p=rank（M）

q=rank（N）

[n，m]=size（A）；

if p==n

disp（‘系統(tǒng)是能控的）

else disp（‘系統(tǒng)是不能控的）

end

if q==m

disp（‘系統(tǒng)是能觀的）

else disp（‘系統(tǒng)是不能觀的）

end

運(yùn)行結(jié)果如下：

p=4

q =4

系統(tǒng)是能控的

系統(tǒng)是能觀的

綜上所述，得出這樣一個(gè)結(jié)論：直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的但能控能觀的系統(tǒng)。

2 狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

2.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

狀態(tài)反饋能任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，有效地改善系統(tǒng)的性能。要利用狀態(tài)反饋，必須要得到系統(tǒng)內(nèi)部的各個(gè)狀態(tài)變量x（t），可是系統(tǒng)的狀態(tài)變量一般是難以獲取的，甚至無法測(cè)量，這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)[1]。

在SIMULINK環(huán)境中，搭建其模型并進(jìn)行仿真[3]，仿真結(jié)果如圖3所示。

由仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)，擺桿角度最終為零，即擺桿保持豎直向上不倒，小車最終也達(dá)到平衡位置。

2.2 降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型是四階的，但rank（C）=2，即小車位移x和倒立擺的角度 直接由輸出傳感器測(cè)量，因而無需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維（二維）狀態(tài)觀測(cè)器。

在Matlab中搭建降維觀測(cè)器的系統(tǒng)框圖，其仿真結(jié)果如圖4所示。

從上圖仿真結(jié)果來看，倒立擺系統(tǒng)最終保持平衡。小車的位移和單擺的角度都達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都得到了有效地改善，控制效果較好。

3 狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能分析

3.1 全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性分析

由于降維狀態(tài)觀測(cè)器中y通過增益陣直接傳遞到其輸出端，所以若y中包含干擾時(shí)它們將全部出現(xiàn)于x中；而在全維狀態(tài)觀測(cè)器中，y需要經(jīng)積分器濾波后才傳送到輸出端，從而x中由y包含的干擾所引起的影響已大為減少。因此，理論上分析可知全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能要優(yōu)越于降維狀態(tài)觀測(cè)器。

對(duì)倒立擺系統(tǒng)施加了隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)“Random Number”，即相當(dāng)于小車和擺桿受到了一個(gè)隨機(jī)的擾動(dòng)。

給整個(gè)系統(tǒng)施加了一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)后，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處產(chǎn)生了振蕩，變得有些不穩(wěn)定，不過由于控制器發(fā)生了良好的控制作用，擺桿和小車仍然保持在平衡點(diǎn)附近，振蕩的幅度較小，這充分說明了全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性是比較及時(shí)的，抗擾性能比較好。

3.2 降維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性分析

在基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)上，也同樣施加了一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)，

在基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)上施加了隨機(jī)擾動(dòng)之后，系統(tǒng)失去了原先的平衡，并在平衡點(diǎn)處產(chǎn)生了振蕩，由于降維狀態(tài)觀測(cè)器的控制作用，擺桿和小車始終保持在平衡點(diǎn)的附近。但是與全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾動(dòng)性能相比較，振蕩比較劇烈，幅度明顯要大一些。這充分證明了全維狀態(tài)觀測(cè)器的抗擾性能要優(yōu)越于降維狀態(tài)觀測(cè)器。

4 結(jié)束語(yǔ)

采用狀態(tài)空間的極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺系統(tǒng)的平衡控制，方案設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果也表明，系統(tǒng)的綜合性能優(yōu)良，不僅動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能良好，而且魯棒性也比較強(qiáng)。目前，一階倒立擺控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可由多種方法和理論來實(shí)現(xiàn)其系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，如自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、模糊控制和智能控制等。可以嘗試采用不同的控制策略有效地改善基于狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)帶來的弊端，使得控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到所期望的要求。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 李國(guó)勇，謝克朋，楊麗娟.計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)與CAD[M].第二版.電子工業(yè)出版社，2009.endprint